CÁC LỚP THCS
Bài T1/425. (Lớp 6). Tìm các số tự nhiên N sao cho khi ta xóa đi vài chữ số cuối cùng của nó thì số N giảm đi $1997$ lần.
Bài T2/425. (Lớp 7). Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{ACB}=15^{o}$. Trên cạnh $AC$ lấy điểm $D$ sao cho đường thẳng qua $D$ vuông góc với $BD$ cắt cạnh $BC$ tại $E$ thỏa mãn $DE=2DA$. Tính số đo góc $ADB$.
Bài T3/425. Tìm số nguyên dương $n$ lẻ để $\left [ A \right ]=4951$ với $A$ là tổng của $n$ số hạng sau
$A=\left ( 1+\frac{1}{2} \right )+\left ( 2+\frac{2}{2^{2}} \right )+\left ( 3+\frac{3}{2^{3}} \right )+...+\left ( n+\frac{n}{2^{n}} \right )$
trong đó kí hiệu $\left [ x \right ]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.
Bài T4/425. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{xy+yz+zx}$, trong đó $x,y,z$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $x+y+z=3$.
Bài T5/425. Giải phương trình $x^{2}-2x+7+\sqrt{x+3}=2\sqrt{1+8x}+\sqrt{1+\sqrt{1+8x}}$.
CÁC LỚP THPT
BÀi T6/425. Cho tam giác $ABC$ không cân. Kẻ các đường trung tuyến $AA',BB',CC'$; các đường cao $AH,BF$ và $CK$. Biết $CK=BB'$, $BF=AA'$. Tìm tỉ số $\frac{CC'}{AH}$.
Bài T7/425. Cho $a_{1},a_{2},...,a_{n}\left ( n\geq 3 \right )$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $\left ( a_{1}+a_{2}+...+a_{n} \right )^{2}>\frac{3n-1}{3}\left ( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{n}^{2} \right )$. Chứng minh rằng khi đó $a_{i},a_{j},a_{k}$ là độ dài ba cạnh tam giác, trong đó $i,j,k$ là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện $0<i<j<k\leq n$.
Bài T8/425. Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình bình hành có thể tích $V$. MẶt phẳng $(P)$ cắt các cạnh $SA, SB, SC, SD$ lần lượt tại $A', B', C', D'$ thỏa mãn đẳng thức $\frac{SA}{SA'}+\frac{SB}{SB'}+\frac{SC}{SC'}+\frac{SD}{SD'}=8$. Đặt thể tích của hình chóp $S.A'B'C'$ là $V_{1}$ và thể tích của hình chóp $S.A'C'D'$ là $V_{2}$.
Chứng minh rằng $\frac{1}{\sqrt[3]{V_{1}}}+\frac{1}{\sqrt[3]{V_{2}}}\leq \frac{4\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{V}}$.
TIẾN TỚI OLIMPIC TOÁN
Bài T9/425. Viết $2012^{2013}$ thành tổng $2013$ số nguyên dương$a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{2013}$.
Đặt $T=a_{1}^{13}+a_{2}^{13}+a_{3}^{13}+...+a_{2013}^{13}$.
Chứng minh rằng $T+2012^{2013}$ không là số chính phương.
Bài T10/425. Cho tam giác $ABC$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác tiếp xúc các cạnh $BC, CA, AB$ theo thứ tự tại $D, E, F$. Gọi $M$ là giao điểm của $BC$ với đường phân giác trong góc $\widehat{BIC}$, N là giao điểm của $EF$ với đường phân giác trong góc $\widehat{DEF}$. Chứng minh rằng ba điểm $A, M, N$ thẳng hàng.
Bài T11/425. Với hai đa thức có hệ số nguyên $p\left ( x \right )$ và $q\left ( x \right )$, ta viết $p\left ( x \right )\equiv q\left ( x \right )\left ( mod2 \right )$ nếu $p\left ( x \right )-q\left ( x \right )$ là một đa thức có tất cả các hệ số đều chia hết cho 2.
Cho dãy đa thức $p_{n}\left ( x \right )$ thỏa mãn $p_{1}\left ( x \right )=p_{2}\left ( x \right )=1$ và $p_{n+2}\left ( x \right )=p_{n+1}\left ( x \right )+x.p_{n}\left ( x \right )$ với mọi $n\in N^{*}$.
Chứng minh rằng $P_{2^{n}}\left ( x \right )\equiv 1\left ( mod2 \right )$ với mọi $n\in N$.
Bài T12/425. Giả sử $ABC$ là một tam giác nhọn. Chứng minh rằng
$\frac{cosBcosC}{cos\frac{B-C}{2}}+\frac{cosCcosA}{cos\frac{C-A}{2}}+\frac{cosAcosB}{cos\frac{A-B}{2}}\leq \frac{3}{4}$.
Còn cái Kết quả cuộc thi Giải Toán và Vật lí không biết có ai có hứng thú không?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lehoanghiep: 18-11-2012 - 09:20
