Chủ đề này có 3 trả lời

[Khanh 6c Hoang Liet]

Tìm các số nguyên tố $p$ có dạng $2^{2^{n}} + 5, n \in \mathbb{N}$.

[Khanh 6c Hoang Liet]

Hình như đề phải là $2^{2^{2n}} + 5$ mời đúng.

Không phải đâu, chỉ là $2^{2^{n}} + 5$ thôi.

[DarkBlood]

Tìm các số nguyên tố $p$ có dạng $2^{2^{n}} + 5, n \in \mathbb{N}$.

Với $n=0$, ta có: $p=7$ (là số nguyên tố)
Những số có dạng $A=2^{2^{n}} + 5$ với $n \in N*$ đều chia hết cho 3 (*)
Thật vậy:
Với $n=1$, ta có: $A=9\vdots 3$
Giả sử đúng với $n=k$, ta có: $2^{2^{k}}+5\vdots 3$ $\Rightarrow $ $2^{2^{k}}+5=3a$ $\Rightarrow$ $2^{2^{k}}=3a-5$
Ta chứng minh (*) cũng đúng với $n=k+1$.
Ta có:
$2^{2^{k+1}}+5$
$=2^{2^{k}.2}+5$
$=\left ( 2^{2^{k}} \right )^2+5$
$=(3a-5)^2+5$
$=9a^2-30a+25+5$
$=9a^2-30a+30\vdots 3$
Do đó những số có dạng $2^{2^{n}} + 5$ với $n \in N*$ đều chia hết cho 3, do đó những số này không thể là số nguyên tố.
Vậy số nguyên tố $p$ có dạng $2^{2^{n}} + 5, n \in \mathbb{N}$ là $7$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 25-11-2012 - 13:57

[Zaraki]

Ta có thể chứng minh chia hết cho $3$ mà cần dùng đến quy nạp: $3 \mid 2^{2^n}+5$.
Thật vậy, vì $n \in \mathbb{N}^*$ nên $2^n$ lẻ, đặt $2^n=2k$ với $k \in \mathbb{N}$.
Ta có $2^{2k}+5=4^k+5 \equiv 1+2 \equiv 0 \pmod{3}$.