4 replies to this topic

[caothuprofifa]

Xét tam thức bậc hai $f(x)=ax^2+bx+c$ $(a \neq 0; a<b)$. $f(x) \ge 0 , \forall x$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[ A= \frac{a+b+c}{b-a} \]
___
NLT: Học gõ Tex ở đây !

Edited by Nguyen Lam Thinh, 20-11-2012 - 06:28.

[Ispectorgadget]

Xét tam thức bậc hai $f(x)=ax^2+bx+c$ $(a \neq 0; a<b)$. $f(x) \ge 0 , \forall x$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[ A= \frac{a+b+c}{b-a} \]

Do $f(x) \ge 0$ nên ta có $b>a \ge 0$ và $b^2 -4ac \le 0$
$\Rightarrow 2\sqrt{ac}\le b$
Ta sẽ chứng minh $A \ge 3 \Leftrightarrow \frac{4a+c}{2}\ge b$
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có $$\frac{4a+c}{2}\ge \frac{2\sqrt{4ac}}{2}=b$$
Vậy GTNN của A là 3

Edited by Ispectorgadget, 20-11-2012 - 10:56.

[caothuprofifa]

tại sao có A=3 vậy bạn lỡ có 1 số khác sao

Edited by caothuprofifa, 21-11-2012 - 17:46.

[Ispectorgadget]

Do $f(x) \geq 0$ nên: $$\left\{\begin{matrix}
b>a>0\\
b^2 - 4ac \leq 0.
\end{matrix}\right.$$
Suy ra:

$4ac \geq b^2$ => $c > 0$

$$\Rightarrow 2\sqrt{ac} \geq b$$
Theo đề bài ta cần tìm k để:
$$P \geq k \Leftrightarrow \frac{(k+1)a+c}{k-1}\geq b$$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$$\frac{(k+1)a+c}{k-1}\geq \frac{\sqrt{(k+1)ac}}{k-1}$$
Do đó k cần tìm sao cho:
$$\frac{\sqrt{(k+1)ac}}{k-1} = 2\sqrt{ac} \Rightarrow k = 3$$
Vậy GTNN của P là 3

[caothuprofifa]

mình vẫn ko hieu la 2 dong nay

Theo đề bài ta cần tìm k để:

P≥k⇔(k+1)a+ck−1≥b

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

(k+1)a+ck−1≥(k+1)ac−−−−−−−√k−1