Trước khi vào vấn đề chính ,mình xin có đôi lời như sau
1,**Topic về cơ bản là để định hướng các bạn đến với BĐT,vì vậy mong mọi người tôn trọng các bà toán trong topic,nếu ai thấy quá dễ cũng xin không đặt commen vào
2,**Trong topic,mọi người đều bình đẳng ,dù min hay mod vào topic đều phải cởi bở quân phục và vũ khí
3,**Hầu hết để giải BĐT,mọi người đều tìm cách trả lời cho câu hơi"tại sao" và" như thế nào",trong topic ,mình sẽ cùng mọi người tìm cách giải quyết,càng triệt để,càng chi tiết càng tốt
4,**Trong topic này ,mình không phải là chủ mà cũng như các bạn đều là người học,do kiến thức còn quá hạn hẹp(đặc biệt là về kĩ thuật cân bằng hệ số) nên mọi vấn đề chỉ có thể giải quyết nếu dc mọi người nhiệt tình giúp đỡ
5,**Mình cần lưu ý thêm là hầu hết các bài toán trên đây đều là của người khác ra đề,vì vậy,trên nguyên tắc không thể bó hep nó chỉ ở BĐT AM-GM,vì vậy ,sx có những BĐT cần tới cả C-S ... cũng nên,mong mọi người lươgj thứ về vấn đề này
6**,Nếu có nguồn bài,mình sẽ ghi rõ,tuy nhiên,mình chưa bao giờ có ý nghĩ rằng BĐT ở IMO sẽ khó hơn VMO ,sẽ khó hơn BĐTthi HSG tỉnh nào đó,...mong các bạn cũng nghĩ như mình để không tạo tâm lý làm bài
7,**Các bài toán trong topic có thể các bạn sẽ giải dễ dàng nhưng nếu gặp 1 bài BĐT bất kì,nhiêud khi bạn lại sẽ rát lúng túng do không phải pải sử dụng cái gì à như thế nào.Các bạn khoan chớ lo về vấn đề ấy,để khắc phục ,các bạn cần nắm vững những điều sau đã
8,**Các bạn đừng ngần ngại phản hồi vào topic BẤT CỨ ĐIỀU GÌ CÁC BẠN BĂN KHOĂN ,mọi người sẽ cùng thảo luận ,đừng để cái không biết của bây giờ đè nát cái thông mnih của ngày sau
9,**Mọi sai sót trong quá trình mong mọi người lượng thứ
Trên tinh thần trên ,trước hết mình xin chỉ nêu ra 2 BĐT mà mình cho là cơ bản nhất AM-GM và CAUCHY-SCHWARZ )
Vè lý thuyết và phát biểu ,có lẽ mọi người đều đã nắm rõ,và vì đã có ở topic http://diendantoanho...c-cực-trị-thcs/ nên mình xin không nêu lại
trên đây,mình xin nêu ra một số hệ quả trực tiếp vào bài toán định hướng của 2 bđt trên
*Hệ quả BĐT AM-GM(xét với các số không âm nhé)
1,$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)$
2,$a^3+b^3+c^3\geq 3abc$
3,$(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)$
4,$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4(=2^2)}{a+b}$ hay $\frac{1}{a+b}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$ (tương tự với n số,bạn cũng có thể tổng quát lên dễ dàng )
*BĐT phụ :Không chỉ với AM-GM,BĐT phụ còn có tầm ảnh hương tới rất nhiều bài toán BĐT khác(đến nỗi mà đã có 1 topic riêng rất hay về phần này http://diendantoanho...-dẳng-thức-phụ/
mọi người tham khảo link trên,học thuộc dc thì càng tốt
*Hệ quả BĐT C-S(CAUCHY-SCHWARZ )
1, 2 hệ quả rất quan trọng của BĐT C-S là (Schwars và Mincowski đều dc trình bày ở link mình đã đưa đàu bài )
*Bài toán định hướng
1,$\sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$
-Chứng minh
BĐT tương đương $\sqrt{a}(a+b+c)\geq 2a\sqrt{b+c}$ hay $a+(b+c)\geq 2\sqrt{a.(b+c)}$ (luuôn đúng theo AM-GM 2 số)
lời giải trên liệu có gì không tự nhiên không mọi người nhỉ
(cái ta để tam ở đây là BĐT trên là 1 cách ta khử căn thức để làm BĐT đỡ "vất vả" hơn )
2,$\frac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd}}+\frac{16}{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}\geq 5$
-Chứng minh :chú ý rằng $\frac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd}}=\frac{a+b}{2\sqrt[4]{abcd}}+\frac{b+c}{\sqrt[4]{abcd}}+\frac{c+d}{\sqrt[4]{abcd}}+\frac{d+a}{\sqrt[4]{abcd}}$
đến đây, nếu trở ại bài toán,ta chỉ cần áp dụng BĐT AM-GM cho 5 số là xong
(cái mình muốn nói ở đây là viêc tách hạng tử
nhiều bạn chắc chắn sẽ thắc mắc tại sao lại tách như trên .Trong tầm kiến thức ở AM-GM(tức là ta chỉ xem xét các khả năng giải bằng AM-GM cho bài toán trên ),mình xin giải thích như sau
+,nếu áp dụng trực tiếp AM-GM ,chắc chắn sẽ không đem lại kết quả rồi
+,chú ý rằng bài toán trên không hề cho đk ẩn(ngoài không âm)nên ta khả dĩ không thể áp dụng AM-GM ĐỂ RỒI ĐƯA VẾ TRÁI VỀ 1 BIỂU THỨC CÒN ẨN
+,từ đánh giá thứ 2,ta buộc phải tìm cách triệt tiêu hoàn toàn tất cả ẩn sau khi đã áp dụng AM-GM
tức là phải tách 1 trong 2 hạnh tử trên ra thành tổng của 1 số hạng tử náo đó
+,Phân thức $\frac{16abcd}{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}$ tuyệt vời này chắc cũng chẳng ai tìm cách tách nó,vì vậy ta tìm cách tách phân thức $\frac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd}}$
+'dựa vào phân thức cố định trên,ta phải tách phân thức $\frac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd}}$ thành tổng các phân thức có mẫu là $k(a+b),k(b+c)..$ để triệt tiêu mẫu(số pphân thức tách được là 4 )
+,chọn k= 1(vì sao?chẳng vì sao cả,nếu không dc ta lại chọn số khác ,cho dễ tihs thôi) ta dc 1 dạng $\frac{a+b}{x}+\frac{b+c}{y}+\frac{c+d}{z}+\frac{d+a}{t}$
+,chọn x=y=z=t ,ta dc tổng trên bằng $\frac{2(a+b+c+d)}{x}$ vậy hiển nhiên $x=2\sqrt[4]{abcd}$
đến đây xem như ta đã hoàn thành trọn vẹn bài toán
3,$(a+b+c)(ab+bc+ca)\leq \frac{8}{9}(a+b)(b+c)(c+a)$
(mình xin nêu kái quát về phép đổi biến p.q.r,nếu có dk mình sẽ giới thiệu ở BĐT schur, hoặc kĩ thuật đặt ẩn phụ )
để giảm bớt khối lượng tính toán,trong trường hợp đủ bộ,ta có thể đặt
$a+b+c=p;ab+bc+ca=q;abc=r$,khi đó hiển nhiên là $p\geq 3r;q\geq 3p;p^2\geq 3q,q^2\geq 3pr$
(còn rất nhiều BĐT nữa mình sẽ giới thêu sau và cũng khuyến khích mọi người thử xây dựng)
*1 hằng đẳng thức quý vô bờ bến mà mọi người cần nhớ là $(a+b)(b+c)(c+a)= (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$
chứng minh thuần bằng đại số
trở lại bài toán ,BĐT viết lại như sau $9r\leq pq$ và điều này là hiển nhiên
4,$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}$
Mặc dù BĐT có thể giải hết sức đơn giản bằng C-S tuy nhiên cái mình muốn nói ở đây(và cũng là cái mình yếu nhất)là khử mẫu-điểm rơi
+,trước tiên ta để ý là không thể cộng trực tiếp các số hạng ở VT lại,làm như vậy quá "mạo hiểm"
+,tư tưởng của ta là khử mẫu cho dễ tính toán và AM-GM có thể làm điều này giúp bạn
$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{x}\geq 2\sqrt{\frac{a^2.(b+c)}{x.(b+c)}}= 2\frac{a}{\sqrt{x}}$
cái quan trọng giờ là con x ấy là con lào ?ta không dc chọn mò nó,vì sao?vì theo AM-GM thì các số hạng được vinh dự tham gia áp dụng phải bằng nhau thì mới có đẳng thức ,đây cũng là mấu chốt để tìm x,
+,ta phải có $\frac{a^2}{b+c}=\frac{b+c}{x}$,(1)chú ý hơn 1 tí nữa,trong hầu hết các BĐT sử dụng AM-GM hay C-S(ta xét 3 biến a,b,c) đẳng thức xảy ra khi a=b=c hoặc (a=b,c=0)và các hoán vị,trong bài toán này nếu thay a=b=c,ta sẽ có đẳng thức(2)
từ (1) và(2) ta đễ tìm dc x,phần còn lại bạn trình bày nốt nhé
Edited by no matter what, 24-11-2012 - 23:33.