Chủ đề này có 344 trả lời

[MathCrave]

Bài 71:Cho $x,y,z\in R^{+}$ thỏa:
$a)$ $2x+4y+7z=2xyz$.Tìm min của biểu thức:$P=x+y+z$
$b)$ $ax+by+cz=xyz$ (với $a,b,c$ là hằng số dương).Tìm min của biểu thức:$P=x+y+z$

Bài 72:Cho các hằng số dương $m,n$ và $x,y,z\in R$ thỏa $xy+yz+zx=1$.Tìm min của biểu thức:$P=x^{2}+my^{2}+nz^{2}$

Bài 73:Cho $a,b,c> 0$ thỏa $a\geq max$ {$b,c$}.Tìm min của:
$$P=\frac{a}{b}+2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}}$$

Bài 74:Chứng minh với mọi $0\leq x\leq 1$,ta có:
$$x(9\sqrt{1+x^{2}}+13\sqrt{1-x^{2}})\leq 16$$

Mình góp cách giải bài 73. Kết quả lẻ nhưng đẹp. Mình mới dùng laTex nên có sai sót mong mọi người chỉ bảo ạ.

Dự đoán điểm rơi: $a = b = c$

Để cho dễ, mình gọi $x = \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4}}$, $y = \sqrt[6]{2}$

Biến đổi $P = x.\frac{a + b}{b} + \sqrt{1 + \frac{b}{c}} + \sqrt{1 + \frac{b}{c}} + y\sqrt[3]{1 + \frac{c}{a}} + y\sqrt[3]{1 + \frac{c}{a}} + y\sqrt[3]{1 + \frac{c}{a}} + (1 - x)\frac{a + b}{b} + (3 - 3y)\sqrt[3]{1 + \frac{c}{a}} - 1$

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 6 số dương (đầu tiên) và sử dụng giả thiết $a \geq max${$b, c$} được:

$P \geq 6\sqrt[6]{\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{abc}} + 2(1 - x) - 3(y - 1)\sqrt[3]{2} - 1$   (Để ý là $\frac{c}{a} \leq 1$, mà $3 - 3y$ < 0 nên ta lật dấu lại có được như trên)

$\Leftrightarrow P \geq 6\sqrt[6]{8} + 1 - 2x - 3y\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{2} = 1 + 2\sqrt{2} + 3\sqrt[3]{2}$   (Lưu ý: $\sqrt[6]{8} = \sqrt{2}$; $2x = \sqrt{2}$; $y\sqrt[3]{2} = \sqrt{2}$)

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathCrave: 30-04-2024 - 17:27

[Yuhri]

Nói thêm 1 tí,tuy rằng đây không phải là kĩ thuật có ứng dụng rộng,tuy nhiên cũng xin đưa ra để lỡ có dính thì bạn cũng đừng lúng túng
Kĩ thuật đánh giá mẫu
Ta xét VD sau :Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác,chứng minh BĐT sau
$\sqrt{\frac{a}{b+c-a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a-b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b-c}}\geq 3$
Hiển nhiên BĐT trên có thể chứng minh trực tiếp bằng AM-GM 3 số rất gọn,tuy nhiên vì là bài giứoi thiệu phương pháp nên mọi người chú ý tới đánh giá sau
Theo AM-GM ,ta có $2\sqrt{\frac{b+c-a}{a}}\leq \frac{b+c-a}{a}+1=\frac{b+c}{a}\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c-a}}\geq \frac{2a}{b+c}$
đánh giá tương tự ta đã có lời giải cho bài toán
Vì dạng này không khó nên dành lại VD sau cho các bạn
 

Em xin làm ví dụ này bằng pp đặt ẩn phụ

Ta đặt: $b+c-a=x$, $c+a-b=y$, $a+b-c=z$

Ta có: $x+y= 2c$, $y+z=2a$, $x+z=2b$

Khi đó bđt ban đầu $\leftrightarrow$ $\sum \sqrt{\frac{x+y}{2z}}$ $\geq 3$
Ta có thể dùng AM-GM dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức này

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yuhri: 05-06-2024 - 10:19

[M4th3nJ0Yer]

Em xin làm ví dụ này bằng pp đặt ẩn phụ

Ta đặt: $b+c-a=x$, $c+a-b=y$, $a+b-c=z$

Ta có: $x+y= 2c$, $y+z=2a$, $x+z=2b$

Khi đó bđt ban đầu $\leftrightarrow$ $\sum \sqrt{\frac{x+y}{2z}}$ $\geq 3$
Ta có thể dùng AM-GM dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức này

Một lời giải khác

Bổ đề

Với $x$ là số dương, ta luôn có $$\sqrt{x} \ge \frac{2x}{x+1}$$ Dấu bằng xảy ra khi $x=1$

Bổ đề

Với $x,y,z>0$, ta luôn có $$\sum \frac{x}{y+z} \ge \frac{3}{2}$$ Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$

Các bạn tự chứng minh bằng biến đổi tương đương cho bổ đề 1, bổ đề 2 là BĐT quen thuộc

Sử dụng 2 bổ đề, ta có $$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c-a}} \ge \sum \frac{2\cdot \frac{a}{b+c-a}}{\frac{a}{b+c-a}+1}=2\cdot \sum \frac{a}{b+c}\ge 2\cdot \frac{3}{2}=3$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi M4th3nJ0Yer: 05-06-2024 - 19:44

[Yuhri]

Một lời giải khác

Bổ đề

Với $x$ là số dương, ta luôn có $$\sqrt{x} \ge \frac{2x}{x+1}$$ Dấu bằng xảy ra khi $x=1$

Bổ đề

Với $x,y,z>0$, ta luôn có $$\sum \frac{x}{y+z} \ge \frac{3}{2}$$ Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$

Các bạn tự chứng minh bằng biến đổi tương đương cho bổ đề 1, bổ đề 2 là BĐT quen thuộc

Sử dụng 2 bổ đề, ta có $$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c-a}} \ge \frac{2\cdot \frac{a}{b+c-a}}{\frac{a}{b+c-a}+1}=2\cdot \frac{a}{b+c}\ge 2\cdot \frac{3}{2}=3$$

Mình nghĩ bổ đề 1 cho x không âm thì nó sẽ mở rộng hơn

[M4th3nJ0Yer]

Mình nghĩ bổ đề 1 cho x không âm thì nó sẽ mở rộng hơn

đÚNG rồi bạn ạ, nma nó sẽ có 1 điểm rơi tại x=0 nữa