Chủ đề này có 340 trả lời

[nguyencuong123]

1.Cho x >2. chứng minh $\frac{x}{2}+\frac{8x^{3}}{\left ( x-2 \right )\left ( x+2 \right )^{2}}> 9$

[Strygwyr]

1.Cho x >2. chứng minh $\frac{x}{2}+\frac{8x^{3}}{\left ( x-2 \right )\left ( x+2 \right )^{2}}> 9$

bài này quy đồng rồi biến đổi là ra
BDT cần c/m tương đương với $x(x-2)(x+2)^{2}$ + $16x^{3}$ > $18(x-2)(x+2)^{2}$
sau khi biến đổi ta được $(x-4)^{2}(x^{2}+8x+8)$+16>0 luôn đúng với x>2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 05-03-2013 - 19:52

[Trang Luong]

Cho a,b,c > 0, a+b+c=1. Tìm min

$P=\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 01-04-2013 - 21:07

[Oral1020]

Cái này mình làm cách khác AM-GM

Áp dụng bất đăng thức Mincosckopki,ta có:

$P \ge \sqrt{(a+b+c)^2+(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})^2} \ge \sqrt{1+(\dfrac{9}{a+b+c})^2}=\sqrt{82}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral31211999: 01-04-2013 - 21:57

[Trang Luong]

Mình xin bạo dạng làm cách BĐT Bunhia

$\left ( a^{2}+\frac{1}{b^{2}} \right )(1+81)\geq \left ( a+\frac{9}{b} \right )^{2}\Rightarrow \sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}\geq \frac{a+\frac{9}{b}}{\sqrt{82}}$, 

$\Rightarrow P\geq \frac{1}{\sqrt{82}}\left ( a+b+c+\frac{9}{a}+\frac{9}{b}+\frac{9}{c} \right )=\frac{1}{\sqrt{82}}\left [ \sum \left ( 81a+\frac{9}{a} \right )-80\sum a \right ]\geq \frac{1}{\sqrt{82}}\left ( 54+54+54-80 \right )=\sqrt{82}$

Dẫu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 02-04-2013 - 22:13

[Trang Luong]

Cách khác : Mình sd BĐT AM-GM:

Ta có : $82\left ( a^{2}+\frac{1}{b^{2}} \right )=\left (81a^{2}+\frac{1}{b^{2}} \right )+a^{2}+\frac{81}{b^{2}}\geq a^{2}+\frac{81}{b^{2}}+18\frac{a}{b}=\left ( a+\frac{9}{b} \right )^{2}\Rightarrow \sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}\geq \frac{a+\frac{9}{b}}{\sqrt{82}}$

Làm tương tự như trên

[Trang Luong]

Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn $a + b + c = 6$. Tìm giá trị lớn nhất có thể được của tổng $S=\sqrt[3]{a^{2}+2bc}+\sqrt[3]{b^{2}+2ac}+\sqrt[3]{c^{2}+2ab}$

[Trang Luong]

 Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm min của $A=\frac{a+3b}{a+b}+\frac{c+3b}{b+c}+\frac{3b}{c+a}$

[Trang Luong]

Cho a,b,c > 0 Cmr ;

$\frac{a+b}{a+2b}+\frac{b+c}{b+2c}+\frac{c+a}{c+2a}\geq 2$

[4869msnssk]

 Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm min của $A=\frac{a+3b}{a+b}+\frac{c+3b}{b+c}+\frac{3b}{c+a}$

bài này sai đề nhỉ

[Trang Luong]

bài này sai đề nhỉ

Ko sai đề đâu bạn, bạn cứ làm đi, rồi thấy đề đúng

[vnmath98]

Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn $a + b + c = 6$. Tìm giá trị lớn nhất có thể được của tổng $S=\sqrt[3]{a^{2}+2bc}+\sqrt[3]{b^{2}+2ac}+\sqrt[3]{c^{2}+2ab}$

Hoder

$(\sum \sqrt[3]{a^{2}+2bc})^3\leq (1+1+1)(1+1+1)(\sum a^2+2bc)=18^2$

Đến đó bạn tự tìm Max nhe.

[Trang Luong]

Hoder

$(\sum \sqrt[3]{a^{2}+2bc})^3\leq (1+1+1)(1+1+1)(\sum a^2+2bc)=18^2$

Đến đó bạn tự tìm Max nhe.

Sử dụng BDT AM-GM:$x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq 3xyz$

Ta có : $3.\sqrt[3]{12}.\sqrt[3]{12}.\left (\sum \sqrt[3]{a^{2}+2bc} \right )\leq \sum \left (12+12+a^{2}+2bc \right )=\left ( 72+\sum a^{2}+\sum 2bc \right )=108$

$\left (\sum \sqrt[3]{a^{2}+2bc} \right )\leq 108:3:\sqrt[3]{12}^{2}=36:\sqrt[3]{12^{2}}=\sqrt[3]{324}$

Dấu = xay ra khi $a=b=c=2$

[Trang Luong]

Cho $abc=1$, $a,b,c > 0$. Cmr: $P=\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 07-04-2013 - 20:06

[Supermath98]

em xem lại đề bài 1 xem hình như thừa thì phải
đề đúng là $\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\geq 9$ phải không em?

Theo đề đúng thì ta làm như sau:

Đặt $a^{2}+2bc=x$; $b^{2}+2ac=y$ và $c^{2}+2ab=z$ ta được điều phải cm tương đương với:

Bằng phương pháp biến đổi tuơng đương ta có $\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\geq 9$ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$   (1)

Ta có: x+y+z=$\left ( a+b+c \right )^{2}$ $\geq$ 1    (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

[Supermath98]

Cho $abc=1$. Cmr: $P=\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\leq 1$

Bài này có cho đk a,b,c k bạn?

[Supermath98]

Ko sai đề đâu bạn, bạn cứ làm đi, rồi thấy đề đúng

Nhưng cái phân thức cuối tử hình như thiếu mất b

[Trang Luong]

Cho $x,y,z$ là các số thay đổi thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Tìm $max$ của $P=xy+yz+xz+\frac{1}{2}\left [ z^{2}(y-z)^{2}+y^{2}(z-x)^{2}+z^{2}(x-y)^{2} \right ]$

[vutuanhien]

Cho $abc=1$, $a,b,c > 0$. Cmr: $P=\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\leq 1$

Ta sẽ cm bài toán bằng phản chứng:Giả sử $\sum \frac{1}{a+2}=1$, ta sẽ cm $abc\leq 1$. Thật vậy, từ gt phản chứng ta có $\sum \frac{a}{a+2}=1.$. Đặt $m=\frac{a}{a+2}, n=\frac{b}{b+2}, p=\frac{c}{c+2}$ thì $m+n+p=1$ và $\frac{1}{m}=\frac{a+2}{a}=1+\frac{2}{a}\Rightarrow \frac{2}{a}=\frac{1}{m}-1=\frac{n+p}{m}\Rightarrow a=\frac{2m}{n+p}$. Tương tự ta có $b=\frac{2n}{p+m}, c=\frac{2p}{m+n}$ suy ra $abc=\frac{8mnp}{(m+n)(n+p)(p+m)}\leq 1$ (theo BĐT AM-GM) (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 09-04-2013 - 22:51

[mathnam]

1/CMR:$\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)}\geq \frac{27}{2(a+b+c)^{2}}$

 Với a,b,c thực dương 

2/Cho x,y,z không âm thoả x+y+z=1.Tìm GTNN,GTLN của biểu thức:

P=xy+yz+zx-2xyz

(Đề thi HSG tỉnh lớp 9 Quảng Ngãi)