Chủ đề này có 6 trả lời

[mango]

Cho 2 số x,y đều thuộc [-1;0]. CMR:
$\sqrt{x^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+1)^2+y^2}\geq \sqrt{2(x^2+y^2)}$


(THPT YD2 )

[Joker9999]

Cho 2 số x,y đều thuộc [-1;0]. CMR:
$\sqrt{x^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+1)^2+y^2}\geq \sqrt{2(x^2+y^2)}$


(THPT YD2 )

Khá đơn giản
Giải như sau:
Bình phương 2 vế thì BDT cần CM tương đương:$2x+2y+2+2\sqrt{[x^2+(y+1)^2][(x+1)^2+y^2]}\geq 0$
DO x,y thuộc [-1,0] nên 2y+2$\geq 0$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=0,y=-1 hoặc x=-1,y=0
Chưng minh hoàn tất.

[mango]

Khá đơn giản
Giải như sau:
Bình phương 2 vế thì BDT cần CM tương đương:$2x+2y+2+2\sqrt{[x^2+(y+1)^2][(x+1)^2+y^2]}\geq 0$
DO x,y thuộc [-1,0] nên 2y+2$\geq 0$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=0,y=-1 hoặc x=-1,y=0
Chưng minh hoàn tất.

Bạn mới chỉ CM 2y+2$\geq 0$ ; còn 2x nữa.
Và bạn xét dấu = xảy ra thiếu 1 TH

[Joker9999]

Bạn mới chỉ CM 2y+2$\geq 0$ ; còn 2x nữa.
Và bạn xét dấu = xảy ra thiếu 1 TH

SR đọc không kĩ đề.

[mango]

<=> VT > $\sqrt{2(x^2+y^2)+2(x+1)^2+2y(y+2)}$ > VP [vì (x;y) thuộc (-1;0)]
<=> dpcm

BĐT này $\sqrt{2(x^2+y^2)+2(x+1)^2+2y(y+2)}$ > VP
không đúng. chẳng hạn cho x=y= -0,5

[Math Is Love]

Cho 2 số x,y đều thuộc [-1;0]. CMR:
$\sqrt{x^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+1)^2+y^2}\geq \sqrt{2(x^2+y^2)}$


(THPT YD2 )

Áp dụng BĐT $Minkowski$,ta có:
$\sqrt{x^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+1)^2+y^2}\geq \sqrt{(x+y)^2+(x+y+2)^2}= \sqrt{2(x^2+y^2)+4xy+4x+4y+4}$
Vậy ta chỉ cần chứng minh $4xy+4x+4y+4\geq 0$
$\Leftrightarrow 4(x+1)(y+1)\geq 0$
Nhưng BĐT này lại luôn đúng do $\Leftrightarrow x;y\in \left [ -1;0 \right ]$
Vậy bài toán được chứng minh.Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=-1$

[mango]

Áp dụng BĐT $Minkowski$,ta có:
$\sqrt{x^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+1)^2+y^2}\geq \sqrt{(x+y)^2+(x+y+2)^2}= \sqrt{2(x^2+y^2)+4xy+4x+4y+4}$
Vậy ta chỉ cần chứng minh $4xy+4x+4y+4\geq 0$
$\Leftrightarrow 4(x+1)(y+1)\geq 0$
Nhưng BĐT này lại luôn đúng do $\Leftrightarrow x;y\in \left [ -1;0 \right ]$
Vậy bài toán được chứng minh.Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=-1$

bạn thiếu TH dấu bằng xảy ra
x=0,y=-1
hoặc x=-1; y=0