Chủ đề này có 4 trả lời

[WhjteShadow]

Giải trí tối 20/11 xý :">
Bài toán 1.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$ thỏa $xyz=x+y+z+2$. Chứng minh rằng:
$$2.\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\leq x+y+z+6$$
Bài toán 2.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh bất đẳng thức:
$$8.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+9 \geq 10(a^2+b^2+c^2)$$
Điểm rơi $\left(2;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$

[dark templar]

Giải trí tối 20/11 xý :">
Bài toán 1.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$ thỏa $xyz=x+y+z+2$. Chứng minh rằng:
$$2.\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\leq x+y+z+6$$
Bài toán 2.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh bất đẳng thức:
$$8.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+9 \geq 10(a^2+b^2+c^2)$$
Điểm rơi $\left(2;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$

Lời giải cho bài toán 1.
Còn bài toán 2 thì hinh như Thắng đã giải trên diễn đàn rồi với tư tưởng dồn biến trung bình cộng(hình như có cả cách giải cổ điển nhưng không nhớ )

[Joker9999]

Bài toán 2.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh bất đẳng thức:
$$8.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+9 \geq 10(a^2+b^2+c^2)$$
Điểm rơi $\left(2;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$

Giải như sau:
Không mất tính tổng quát $a=max{a,b,c}$, do $a+b+c=3$ nên$9=(42a-48)+(42b-\frac{69}{2})+(42c-\frac{69}{2})$
BDT đã cho tương đương với:
$(\frac{8}{b}-10b^2+42b-\frac{69}{2})+(\frac{8}{c}-10c^2+\frac{69}{2})\geq 10a^2-\frac{8}{a}-42a+48\Leftrightarrow \frac{(16-5b)(2b-1)^2}{b}+\frac{(16-5c)(2c-1)^2}{c}\geq \frac{4(5a-1)(a-2)^2}{a}$
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz ta có:
$\frac{(2b-1)^2}{\frac{b}{16-5b}}+\frac{(2c-1)^2}{\frac{c}{16-5c}}\geq \frac{4(a-2)^2}{\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}}$
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
$\frac{a}{5a-1}\geq \frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}$
Ta có:
$\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}\leq \frac{b}{16-5a}+\frac{c}{16-5c}=\frac{3-a}{16-5a}\leq \frac{a}{5a-1}\Leftrightarrow \frac{3}{(5a-1)(16-5a)}>0$
đúng vì $3\geq a\geq 1$
Chứng minh của ta được hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi $a=2,b=c=\frac{1}{2}$ và các hoán vị

[Joker9999]

Giải trí tối 20/11 xý :">
Bài toán 1.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$ thỏa $xyz=x+y+z+2$. Chứng minh rằng:
$$2.\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\leq x+y+z+6$$

Điểm rơi $\left(2;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$

Bài này làm dồn biến là ngắn nhất thì phải.
Bài này theo tớ thì còn 1 cách:
$xyz=x+y+z+2\Leftrightarrow xyz+x+y+z+xy+xz+yz+1=2(x+y+z)+(xy+yz+xz)+3\Leftrightarrow (x+1)(y+1)(z+1)=(x+1)(y+1)+(x+1)(z+1)+(y+1)(z+1)\Leftrightarrow \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1$
Đặt a=$a= \frac{1}{x+1};b=\frac{1}{y+1};c=\frac{1}{z+1}\Rightarrow a+b+c=1$$x=\frac{1-a}{a}=\frac{b+c}{a}$ nên ta có thể
$(x,y,z)\rightarrow (\frac{b+a}{c};\frac{a+c}{b};\frac{b+c}{a})$, đưa BDT đã cho về
$\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}+6\geq 2\sum \sqrt{\frac{(a+b)(a+c)}{bc}}$

CM BDT này với cách tớ khá dài , phức tạp
Ai có cách CM BDT này ngắn post t tham khảo nha

[lehoanghiep]

Bài này làm dồn biến là ngắn nhất thì phải.
Bài này theo tớ thì còn 1 cách:
$xyz=x+y+z+2\Leftrightarrow xyz+x+y+z+xy+xz+yz+1=2(x+y+z)+(xy+yz+xz)+3\Leftrightarrow (x+1)(y+1)(z+1)=(x+1)(y+1)+(x+1)(z+1)+(y+1)(z+1)\Leftrightarrow \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1$
Đặt a=$a= \frac{1}{x+1};b=\frac{1}{y+1};c=\frac{1}{z+1}\Rightarrow a+b+c=1$$x=\frac{1-a}{a}=\frac{b+c}{a}$ nên ta có thể
$(x,y,z)\rightarrow (\frac{b+a}{c};\frac{a+c}{b};\frac{b+c}{a})$, đưa BDT đã cho về
$\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}+6\geq 2\sum \sqrt{\frac{(a+b)(a+c)}{bc}}$

CM BDT này với cách tớ khá dài , phức tạp
Ai có cách CM BDT này ngắn post t tham khảo nha

$2\left ( \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx} \right )=\left ( \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \right )^{2}-\left ( x+y+z \right )$.
BĐT cần cứng minh tương đương $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{2\left ( x+y+z+3 \right )}$.
...
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có $\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}}=\sum \sqrt{b+c}.\frac{1}{\sqrt{a}}\leq \sqrt{2\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )}$.
Suy ra đpcm.