Chủ đề này có 11 trả lời

[sonnl99]

Cho a,b,c,d>0; ab+bc+cd+da=1
CMR $\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{b^3}{a+c+d}+\frac{c^3}{a+b+d}+\frac{d^3}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}$
-------------------------------------------------------------
Giúp mình với

[tramyvodoi]

sữ dụng bđt trêbưshev đó bạn

[sonnl99]

sữ dụng bđt trêbưshev đó bạn

bạn nói rõ luôn đi

[tramyvodoi]

bạn nói rõ luôn đi

Sử dụng BĐT Chebyshev :
Nếu cho $a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq ... \geq a_n$ và $b_1 \geq b_2 \geq b_3 \geq ... \geq b_n$ thì
$\frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}a_kb_k \geq \left ( \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}a_k \right )\left ( \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}b_k \right )$ và ngược lại.
Bạn cứ áp dụng vào bài này đi.

[dinhthanhhung]

Cho a,b,c,d>0; ab+bc+cd+da=1
CMR $\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{b^3}{a+c+d}+\frac{c^3}{a+b+d}+\frac{d^3}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}$
-------------------------------------------------------------
Giúp mình với

$\frac{a^{4}}{ab+ac+ad}$ tương tự rồi schwarz rồi côsi

[Oral1020]

Cái này mình làm rồi(không chắc).bạn cứ nhân giống như@dinhthanhung.Dùng Schwarz rồi theo mình là nhân chéo vừa đúng HDT

[HeyJude]

Cho a,b,c,d>0; ab+bc+cd+da=1
CMR $\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{b^3}{a+c+d}+\frac{c^3}{a+b+d}+\frac{d^3}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}$
-------------------------------------------------------------
Giúp mình với

VT$\geq\frac{1}{4}(a^3+b^3+c^3+d^3)(\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{c+d+a}+\frac{1}{d+a+b}+\frac{1}{a+b+c})$
$\geq\frac{1}{4}(a^3+b^3+c^3+d^3)\frac{16}{3(a+b+c+d)}$
$\geq\frac{1}{4}.\frac{(a+b+c+d)^3}{3(a+b+c+d)}$
$\geq\frac{1}{4}.\frac{1}{3}.4(ab+bc+cd+da)$
$\geq\frac{1}{3}$

[Sagittarius912]

Cho a,b,c,d>0; ab+bc+cd+da=1
CMR $\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{b^3}{a+c+d}+\frac{c^3}{a+b+d}+\frac{d^3}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}$
-------------------------------------------------------------
Giúp mình với

su dung C-S cho no don gian.
ta co$\sum \frac{a^{3}}{b+c+d}= \sum \frac{a^{4}}{a(b+c+d)}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}}{2(ab+bc+cd+ad+ca+bd)}$
mat khac
$2(ab+bc+cd+ad+ca+bd)\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$
$\Rightarrow VT\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{3}\geq \frac{ab+bc+cd+da}{3}= \frac{1}{3}$
dau "=" xay ra khi a=b=c=d

[sonnl99]

Thanks các bạn so much

[ilovemath97]

Bạn biết về điểm rơi trong bất đẳng thức AM-GM chứ Dự đoán Dấu bằng trong bất đẳng thức này xảy ra khi a=b=c=d=1/2. Mình làm mẫu 1 cái nhé. ta có:

(a mũ 3/b+c+d) + (b+c+d)/18 + 1/12 >= a/2 (AM-GM)
xây dựng tương tự rồi chuyển vế. kết hợp giả thiết thì lúc này dễ òi

[hoangtubatu955]

Bạn biết về điểm rơi trong bất đẳng thức AM-GM chứ Dự đoán Dấu bằng trong bất đẳng thức này xảy ra khi a=b=c=d=1/2. Mình làm mẫu 1 cái nhé. ta có:

(a mũ 3/b+c+d) + (b+c+d)/18 + 1/12 >= a/2 (AM-GM)
xây dựng tương tự rồi chuyển vế. kết hợp giả thiết thì lúc này dễ òi

bạn thử làm ra cu thể được không

[hoangtubatu955]

Cho a,b,c,d>0; ab+bc+cd+da=1
CMR $\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{b^3}{a+c+d}+\frac{c^3}{a+b+d}+\frac{d^3}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}$
-------------------------------------------------------------
Giúp mình với

mình làm như sau:
Ad AM-GM ta có:
$\frac{a^3}{b+c+d}$+ $\frac{a(b+c+d)}{9}$ $\geq$ $\frac{2a^2}{3}$
Thực hiện các đánh giá tương tự rồi cộng lại ta được:
VT $\geq$ $\frac{6(a^2+b^2+c^2)-2-2ac-2bd}{9}$
= $\frac{5(a^2+b^2+c^2)+(a-c)^2+(b-d)^2-2}{9}$
$\geq$ $\frac{5(ab+bc+ca)-2}{9}$ = $\frac{1}{3}$
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=d=$\frac{1}{2}$