Chủ đề này có 4 trả lời

[b2stfs]

Cho $a,b,c$ $\geq$ $0$ thoả mãn: $a + b + c = 1$.Tìm GTLN của:
$\sum \frac{1+a^{2}}{1+b^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 23-11-2012 - 21:48

[WhjteShadow]

Đặt $1+a^2=x,1+b^2=y,1+c^2=z$ ta có $x,y,z \in [1;2]$ và ta cần tìm GTLN của:
$$P=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$$
Không mất tính tổng quát giả sử $y$ là số nằm giữa $x$ và $z$
$$\Leftrightarrow (x-y)(y-z) \geq 0$$
$$\Leftrightarrow xy+yz\geq y^2+zx$$
$$\Leftrightarrow \frac{x}{z}+1 \geq \frac{y}{z}+\frac{x}{y}$$
$$\Leftrightarrow P \le \frac{x}{z}+\frac{z}{x}+1$$
Đặt $\frac{x}{z}=t$ $\left( \frac{1}{2} \leq t\leq 2 \right)$, ta sẽ chứng minh $P\leq \frac{7}{2}$ hay ta chứng minh:
$$t+\frac{1}{t}+1\leq \frac{7}{2}$$
$$\Leftrightarrow 2t^2-5t+2\leq 0$$
$$\Leftrightarrow (2t-1)(t-2)\leq 0 \,\,\,(\text{True})$$
Vậy ta có $Max_{P}=\frac{7}{2}$. Đẳng thức xảy ra khi $a,b,c$ có 1 số bằng 1, 2 số bằng 0 $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 21-11-2012 - 19:52

[provotinhvip]

Đặt $\frac{x}{z}=t$ $\left( \frac{1}{2} \leq t\leq 2 \right)$, ta sẽ chứng minh $P\leq \frac{7}{2}$ hay ta chứng minh:
$$t+\frac{1}{t}+1\leq \frac{7}{2}$$
$$\Leftrightarrow 2t^2-5t+2\leq 0$$
$$\Leftrightarrow (2t-1)(t-2)\leq 0 \,\,\,(\text{True})$$
Vậy ta có $Max_{P}=\frac{7}{2}$. Đẳng thức xảy ra khi $a,b,c$ có 1 số bằng 1, 2 số bằng 0 $\square$

Cho mình hỏi: tại sao bạn lai thấy $Max_{P}=\frac{7}{2}$ để mà "ta sẽ chứng minh $P\leq \frac{7}{2}$" vậy?

[Joker9999]

Cho mình hỏi: tại sao bạn lai thấy $Max_{P}=\frac{7}{2}$ để mà "ta sẽ chứng minh $P\leq \frac{7}{2}$" vậy?

Cái này theo mình chắc là thử các TH ở biên rồi kiểm tra và CM thử thôi

[KietLW9]

$\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}\leq \frac{7}{2}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học