Chủ đề này có 1 trả lời

[lovecat95]

Tìm GTLN của:\[P = \frac{2}{1+x^{2}}-\frac{2}{1+y^{2}}-\frac{4z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{3z}{(z^{2}+1)\sqrt{x^{2}+1}}\]
Trong đó $x,y,z$ là $3$ số dương thoả $xyz+x+z=y$
___
NLT

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 21-11-2012 - 22:46

[lehoanghiep]

Đặt $x=tan\alpha ,z=tan\beta \Rightarrow y=\frac{x+z}{1-xz}=tan\left ( \alpha +\beta \right )=-tan\gamma$ với $\alpha ,\beta , \in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )$;
$\gamma \in \left ( \frac{\pi }{2};\pi \right )$; $\alpha +\beta +\gamma =\pi$.
Khi đó $P=2cos^{2}\alpha -2cos^{2}\gamma -4sin\beta +3sin\beta.cos^{2}\beta =cos2\alpha -cos2\gamma -4sin\beta +3sin\beta \left ( 1-sin^{2}\beta \right )$
$=-2sin\left ( \alpha + \gamma\right )sin\left ( \alpha -\gamma \right )-sin\beta\left ( 1+3sin^{2}\beta \right )=-2sin\beta sin\left ( \alpha - \gamma\right )-sin\beta \left ( 1+3sin^{2}\beta \right )$$=2sin\beta .sin\left ( \gamma -\alpha \right )-sin\beta \left ( 1+3sin^{2}\beta \right )\leq sin\beta -3sin^{3}\beta$.
Từ đây khảo sát hàm số hoặc dùng Cauchy, ta được $P\leq \frac{2}{9}$.
Đẳng thức xảy ra khi $x=\frac{1}{\sqrt{2}};y=\sqrt{2};z=\frac{1}{2\sqrt{2}}$.

Đề gõ nhầm biểu thức cuối.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lehoanghiep: 25-11-2012 - 10:17