Chủ đề này có 17 trả lời

[chaugaihoangtuxubatu]

Cho $a_1,a_2,...,a_n>0$. Cmr :
$(a_1+a_2+...+a_n)(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n})\geq n^2$
(ko dùng AM-GM hay Bunyakovsky)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chaugaihoangtuxubatu: 22-11-2012 - 16:56

[Joker9999]

Cho $a_1,a_2,...,a_n>0$. Cmr :
$(a_1+a_2+...+a_n)(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n})\geq n^2$
(ko dùng AM-GM hay Bunyakovsky)

Dùng biến đổi đưa về tổng bình phương thôi bạn hoặc có thể dùng quy nạp

[Sagittarius912]

Cho $a_1,a_2,...,a_n>0$. Cmr :
$(a_1+a_2+...+a_n)(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n})\geq n^2$
(ko dùng AM-GM hay Bunyakovsky)

cách này có lẽ hơi cao so với THCS nhưng mình cứ đưa ra cho các bạn tham khảo vậy
$\sum a_{i}\sum \frac{1}{a_{i}}= n+\sum_{sym}\frac{a_{i}}{a_{j}}= n+\sum_{sym}a_{i}^{1}.a_{j}^{-1}$

với i;j=1,2,3,....n; i # j
Mà
$[1,-1,0,0....0]\succ [0,0,0,0,....0]$
do đó theo bdt muirhead thì

$\sum_{sym}a_{i}^{1}.a_{j}^{-1}\geq \sum_{sym}a_{i}^{0}.a_{j}^{0}= (n-1)n \Rightarrow \sum a_{i}\sum \frac{1}{a_{i}}\geq n+(n-1)n=n^{2}$ (dpcm)
dấu "=" xay ra khi $a_{1}=...=a_{n}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 22-11-2012 - 18:05

[Sagittarius912]

Cho $a_1,a_2,...,a_n>0$. Cmr :
$(a_1+a_2+...+a_n)(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n})\geq n^2$
(ko dùng AM-GM hay Bunyakovsky)

còn 1 cách dễ hiểu hơn, đó là sử dụng bdt Chebyshez:
ta thấy $(x_{1}, ...x_{n})$ và $(\frac{1}{x_{1}},.....,\frac{1}{x_{n}})$ la 2 bộ số đơn điệu ngược chiều do đó
$(x_{1}+...+x_{n})(\frac{1}{x_{1}}+...+\frac{1}{x_{n}})\geq n.(x_{1}.\frac{1}{x_{1}}+....+x_{n}.\frac{1}{x_{n}})=n^{2}$ (dpcm)
dau "=" khi .....

[Oral1020]

cách này có lẽ hơi cao so với THCS nhưng mình cứ đưa ra cho các bạn tham khảo vậy
$\sum a_{i}\sum \frac{1}{a_{i}}= n+\sum_{sym}\frac{a_{i}}{a_{j}}= n+\sum_{sym}a_{i}^{1}.a_{j}^{-1}$

với i;j=1,2,3,....n; i # j
Mà
$[1,-1,0,0....0]\succ [0,0,0,0,....0]$
do đó theo bdt muirhead thì

$\sum_{sym}a_{i}^{1}.a_{j}^{-1}\geq \sum_{sym}a_{i}^{0}.a_{j}^{0}= (n-1)n \Rightarrow \sum a_{i}\sum \frac{1}{a_{i}}\geq n+(n-1)n=n^{2}$ (dpcm)
dấu "=" xay ra khi $a_{1}=...=a_{n}$

Theo em thì hai cách này cao hơn cả $A-M$ và $C-S$ theo em thôi nhé.Cái đầu tiên thì em không hiểu(vì đây là box THCS mà anh nói cao hơn THCS)

[chaugaihoangtuxubatu]

Dùng biến đổi đưa về tổng bình phương thôi bạn hoặc có thể dùng quy nạp

Biến đổi về tổng bình phương ntn ạ? Chị có thể chĩ kĩ hơn giùm em đc ko ?
Nếu dùng quy nạp thì xuất phát điểm của nó là n=? ạ?

[chaugaihoangtuxubatu]

Theo em thì hai cách này cao hơn cả $A-M$ và $C-S$ theo em thôi nhé.Cái đầu tiên thì em không hiểu(vì đây là box THCS mà anh nói cao hơn THCS)

Bạn có cách khác ko? Mình rất muốn được tìm hiểu về cách cm bđt này trong phạm vi THCS.

[L Lawliet]

Bạn có cách khác ko? Mình rất muốn được tìm hiểu về cách cm bđt này trong phạm vi THCS.

THCS thì đã học về bất đẳng thức AM-GM rồi mà em? Sử dụng AM-GM thì ra ngay luôn rồi đấy @@.

[Sagittarius912]

Cho $a_1,a_2,...,a_n>0$. Cmr :
$(a_1+a_2+...+a_n)(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n})\geq n^2$
(ko dùng AM-GM hay Bunyakovsky)

Biến đổi về tổng bình phương ntn ạ? Chị có thể chĩ kĩ hơn giùm em đc ko ?
Nếu dùng quy nạp thì xuất phát điểm của nó là n=? ạ?

biến đổi về tổng bình phuơng nè em
$(x_{1}+...+x_{n}) (\frac{1}{x_{1}}+.....+\frac{1}{x_{n}})=n+\sum_{sym}\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}=n+\frac{1}{2} \sum _{sym}\frac{(x_{1}-x_{2})^{2}}{x_{1}x_{2}}+\frac {(n-1)n}{2} .2 \geq n^{2}$


(dpcm)
dau "=" khi...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 22-11-2012 - 20:31

[Oral1020]

THCS thì đã học về bất đẳng thức AM-GM rồi mà em? Sử dụng AM-GM thì ra ngay luôn rồi đấy @@.

?.Anh ơi THCS chỉ học Bất phương trình và phép chứng minh bằng biết đổi tương đương chứ chưa học $AM-GM$ Mà em nhớ nghe là THPT mới học
Nếu THCS thi ở sách lớp mấy,trang nào vậy anh.

[Math Is Love]

?.Anh ơi THCS chỉ học Bất phương trình và phép chứng minh bằng biết đổi tương đương chứ chưa học $AM-GM$ Mà em nhớ nghe là THPT mới học
Nếu THCS thi ở sách lớp mấy,trang nào vậy anh.

Anh nhớ là trong sách Bài Tập Toán lớp 8 đã có giới thiệu BĐT $Cô-si$ rồi.
Mà nếu em chỉ học trong SGK thì có lẽ là không bao giỏi được đâu!
____________
Nếu chỉ mới học BĐT $Cô-si$ cho $2$ số thì ta nhân tung hết lên rồi áp dụng BĐT $Cô-si$ cho các cặp $\frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i}$.Ở đây gọi là BĐT $Cô-si$ cho quen thuộc với những ai mới học BĐT.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doxuantung97: 22-11-2012 - 19:27

[Oral1020]

Anh nhớ là trong sách Bài Tập Toán lớp 8 đã có giới thiệu BĐT $Cô-si$ rồi.
Mà nếu em chỉ học trong SGK thì có lẽ là không bao giỏi được đâu!

Đó chỉ là cho $2$ số cái đó thì chỉ cơ bản.Chứ có $n$ số thì học sinh trung học cơ sở biêt chứng minh làm sao(Ngoại trừ chứng minh lại bằng quy nạp) cái này thì ít người biết với lại chứng minh em thấy trong sách dài quá.Chứng minh lại cũng gần hoặc hơn 1 trang giấy
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nghĩ sao em học trong sách không vậy anh trai

[Sagittarius912]

Đó chỉ là cho $2$ số cái đó thì chỉ cơ bản.Chứ có $n$ số thì học sinh trung học cơ sở biêt chứng minh làm sao(Ngoại trừ chứng minh lại bằng quy nạp) cái này thì ít người biết với lại chứng minh em thấy trong sách dài quá.Chứng minh lại cũng gần hoặc hơn 1 trang giấy
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nghĩ sao em học trong sách không vậy anh trai

bai nay neu su dung AM-GM 2 so cung dc ma em, khong thi bien doi tuong duong nhu anh lam the cung dc

[chaugaihoangtuxubatu]

Đó chỉ là cho $2$ số cái đó thì chỉ cơ bản.Chứ có $n$ số thì học sinh trung học cơ sở biêt chứng minh làm sao(Ngoại trừ chứng minh lại bằng quy nạp) cái này thì ít người biết với lại chứng minh em thấy trong sách dài quá.Chứng minh lại cũng gần hoặc hơn 1 trang giấy
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nghĩ sao em học trong sách không vậy anh trai

Bạn cm bằng cách quy nạp đc à? Ntn vậy? Nói sơ sơ cho mình với.

[Oral1020]

Bạn cm bằng cách quy nạp đc à? Ntn vậy? Nói sơ sơ cho mình với.

Trong sách tham khảo nào mà không có bạn.mình quy nạp bằng cách của $Cauchy$ nhé
Với $n=2$ thì bất đẳng thức luôn đúng.nếu bất đẳng thức đúng với $n$ số thì cũng đúng với $2n$ số vì
$a_1+a_2+...+a_{2n} \ge n\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}+n\sqrt[n]{a_{n+1}a_{n+2}...a_{2n}} \ge 2n\sqrt[2n]{a_1a_2...a_n}$
Do bất đẳng thức cũng đúng với $n$ bằng một lũy thừa của $2$.Mặt khác nếu bất đẳng thức đúng với $n$ số thì cũng đúng với $n-1$ số,thật vậy ta chỉ cần chọn:
$a_n=s/(n-1),$$s=a_1+a_2+...+a_{n-1}$
$\Rightarrow s+\dfrac{s}{n-1} \ge n\sqrt[n]{\dfrac{a_1a_2...a_n}{n-1}}$
$\Rightarrow s \ge (n-1)\sqrt[n-1]{a_1a_2...a_{n-1}}$
từ hai nhận xét trên suy ra dpcm
Cái này trong sách sáng tạo BDT của Phạm Kim Hùng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 22-11-2012 - 19:33

[chaugaihoangtuxubatu]

Trong sách tham khảo nào mà không có bạn.mình quy nạp bằng cách của $Cauchy$ nhé
Với $n=2$ thì bất đẳng thức luôn đúng.nếu bất đẳng thức đúng với $n$ số thì cũng đúng với $2n$ số vì
$a_1+a_2+...+a_{2n} \ge n\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}+n\sqrt[n]{a_{n+1}a_{n+2}...a_{2n}} \ge 2n\sqrt[2n]{a_1a_2...a_n}$
Do bất đẳng thức cũng đúng với $n$ bằng một lũy thừa của $2$.Mặt khác nếu bất đẳng thức đúng với $n$ số thì cũng đúng với $n-1$ số,thật vậy ta chỉ cần chọn:
$a_n=s/(n-1),$$s=a_1+a_2+...+a_{n-1}$
$\Rightarrow s+\dfrac{s}{n-1} \ge n\sqrt[n]{\dfrac{a_1a_2...a_n}{n-1}}$
$\Rightarrow s \ge (n-1)\sqrt[n-1]{a_1a_2...a_{n-1}}$
từ hai nhận xét trên suy ra dpcm
Cái này trong sách sáng tạo BDT của Phạm Kim Hùng

Mình vẫn chưa hiểu lắm cái phần lí luận. Bởi vì bt mình đc học quy nạp có các bước sau :
B1, Cm rằng với n = một giá trị cụ thể nào đó, bđt luôn đúng. (thường là các giá trị đầu tiên)
B2, Giả sử bđt đúng với n=k
B3, Ta sẽ cm bđt đúng với n=k+1
Từ 3 điều trên ta mới suy ra đpcm, giống như việc quân đô-mi-đô đổ vậy. Ở đây bạn xuất phát từ n=?, tức là B1 ntn vậy? Hay bài quy nạp này ko theo mẫu thông thường?

[L Lawliet]

?.Anh ơi THCS chỉ học Bất phương trình và phép chứng minh bằng biết đổi tương đương chứ chưa học $AM-GM$ Mà em nhớ nghe là THPT mới học
Nếu THCS thi ở sách lớp mấy,trang nào vậy anh.

Sách giáo khoa lớp 8 có nói và được sử dụng em nhé, trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ chuyên hay không chuyên đều cho phép sử dụng cơ mà vậy thì sao đến THPT mới học được?

[Oral1020]

Sách giáo khoa lớp 8 có nói và được sử dụng em nhé, trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ chuyên hay không chuyên đều cho phép sử dụng cơ mà vậy thì sao đến THPT mới học được?

Sao em nghe nói la khi thi chuyên hay không chuyên bì BDT $AM-GM$ $C-S$ .... đều phải chứng minh lại mà anh.
Với lại SGK chỉ đề cập tới 2 số chứ $n$ số thì SGK cũng chả thấy chứng minh.Anh có thể chứng minh theo cách nào mà THCS hiểu được(vì SGK là sách dành cho tất cả học sinh) chứ quy nạp thì THCS chưa được học nhưng em biết

Mình vẫn chưa hiểu lắm cái phần lí luận. Bởi vì bt mình đc học quy nạp có các bước sau :
B1, Cm rằng với n = một giá trị cụ thể nào đó, bđt luôn đúng. (thường là các giá trị đầu tiên)
B2, Giả sử bđt đúng với n=k
B3, Ta sẽ cm bđt đúng với n=k+1
Từ 3 điều trên ta mới suy ra đpcm, giống như việc quân đô-mi-đô đổ vậy. Ở đây bạn xuất phát từ n=?, tức là B1 ntn vậy? Hay bài quy nạp này ko theo mẫu thông thường?

Mình cũng như bạn mình biết được quy nạp thì cũng giống như bạn còn ở đây chắc là kiểu quy nạp nâng cao hoặc mở rông.Mình cũng không rõ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 22-11-2012 - 20:10