Bài 25: Tìm m để phương trình sau có nghiệm $$x+2\sqrt{(2-x)(2x+2)}=m+4\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\right)$$ Đề khảo sát
Đối với nhiều bài toán phương trình chứa tham số (BPT hay HPT cũng thế) để giải quyết được trước tiên phải hình dung được cách giải phương trình đó nếu không có tham số như thế nào, từ đó bài toán gắn thêm tham số cũng làm tương tự! Tuy nhiên, trong bài toán tham số cần lưu ý một điểm rất quan trọng, đó là cần ràng buộc điều kiện cho biến một cách chặt chẽ.
Ở bài toán này, đây là phương trình có dạng $\sqrt{f(x)}\pm \sqrt{g(x)}\pm \sqrt{f(x).g(x)}+h(x)+c=0$ trong đó $f(x)+g(x)=h(x)$
Cách làm: Đặt $\sqrt{f(x)}\pm \sqrt{g(x)}=t$ sau đó chuyển chuyển phần còn lại chứa $x$ theo $t$
Chú ý đặt điều kiện chặt chẽ cho $t$
Lời giải:Điều kiện: $-1\le x\le 2$
Đặt $\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}=t\Rightarrow \left( \sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\right) ^2=t^2\Leftrightarrow x+2\sqrt{(2-x)(2x+2)}=t^2-4$
Xét $f(x)=\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}$ với $x\in [ -1;2]$
$f'(x)=-\dfrac{1}{2\sqrt{2-x}}+\dfrac{1}{\sqrt{2x+2}},\quad f'(x)=0\Leftrightarrow x=1$
Lập bảng biến thiên suy ra được với $x\in [ -1;2]$ thì $f(x)\in \left[ \sqrt{3};3\right]$ tức là $t\in \left[ \sqrt{3};3\right]$
Ta được phương trình: $$t^2-4=m+4t\Leftrightarrow t^2-4t-4=m\quad (*)$$ Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì $(*)$ phải có nghiệm thỏa mãn $t\in \left[ \sqrt{3};3\right]$
Xét $g(t)=t^2-4t-4$ với $t\in \left[ \sqrt{3};3\right]$
$g'(t)=2t-4,\quad g'(t)=0\Leftrightarrow t=2$
Lập bảng biến thiên và suy ra để $(*)$ có nghiệm $t\in \left[ \sqrt{3};3\right]$ thì $m\in [-8;-7]$
Chú ý: Bài toán này có 2 lỗi hay mắc phải
1. Không tìm điều kiện chặt chẽ của $t$
2. Viết hai hàm $f$ (đã có hàm $f(x)=\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}$ và lại đặt $f(t)=t^2-4t-4$) Chỉ là cách đặt tên nhưng cũng sẽ bị trừ điểm, các bạn cần chú ý!