Một lục giác lồi có tất cả các góc bằng nhau. Chứng minh rằng hiệu giữa các cặp cạnh đối diện của lục giác bằng nhau.
Chứng minh hiệu giữa các cặp cạnh đối diện của ngũ giác bằng nhau.
Bắt đầu bởi DarkBlood, 23-11-2012 - 23:09
#2
Đã gửi 24-11-2012 - 19:05
BlackSelena
-
- Hiệp sỹ
-
- 1549 Bài viết
$\mathbb{Sayonara}$
Gọi $ABCDEF$ là lục giác có các góc trong bằng nhau
$\Rightarrow \angle A = \angle B = \angle C= \angle D = \angle E = \angle F = 120^o$
Từ $A,C,E$ kẻ các đường song song với $BC,DE,AF$ theo thứ tự, chúng cắt nhau tại $P,Q,R$.
Dễ thấy: $\angle PQR = \angle QRP = \angle RPQ = 60^o$
$\Rightarrow \triangle PQR:\text{đều}$
$\Rightarrow PQ = QR = RP$
Mặt khác dễ thấy $ABCP : hbh; EQCD: hbh$
$\Rightarrow AB = PC; ED = QC$
$\Rightarrow PQ = \begin{vmatrix} DE-AB \end{vmatrix}$
Tương tự, ta cũng có:
$QR = \begin{vmatrix} AF - CD \end{vmatrix}$
$RP = \begin{vmatrix} BC - EF \end{vmatrix}$
Mặt khác $PQ = QR = RP$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} DE-AB \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} AF - CD \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} BC - EF \end{vmatrix}$
$Q.E.D$
$\Rightarrow \angle A = \angle B = \angle C= \angle D = \angle E = \angle F = 120^o$
Từ $A,C,E$ kẻ các đường song song với $BC,DE,AF$ theo thứ tự, chúng cắt nhau tại $P,Q,R$.
Dễ thấy: $\angle PQR = \angle QRP = \angle RPQ = 60^o$
$\Rightarrow \triangle PQR:\text{đều}$
$\Rightarrow PQ = QR = RP$
Mặt khác dễ thấy $ABCP : hbh; EQCD: hbh$
$\Rightarrow AB = PC; ED = QC$
$\Rightarrow PQ = \begin{vmatrix} DE-AB \end{vmatrix}$
Tương tự, ta cũng có:
$QR = \begin{vmatrix} AF - CD \end{vmatrix}$
$RP = \begin{vmatrix} BC - EF \end{vmatrix}$
Mặt khác $PQ = QR = RP$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} DE-AB \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} AF - CD \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} BC - EF \end{vmatrix}$
$Q.E.D$
- WhjteShadow, robin997 và DarkBlood thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
