Chủ đề này có 1 trả lời

[LittleGirl98]

Cho A=$$\frac{\sqrt{2}-1}{1+2} + \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2+3} + ... + \frac{\sqrt{25}-\sqrt{24}}{24+25}$$. cmr A<$\frac{2}{5}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 27-11-2012 - 11:07

[angleofdarkness]

Xét hạng tử tổng quát:

 

$\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+(n+1)}=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2n+1}=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{4n^2+4n+1}}$

 

$<\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{4n^2+4n}}=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2\sqrt{n(n+1)}}=\dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}} \right )$

 

Áp dụng BĐT trên ta có $A<\dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{24}}-\dfrac{1}{\sqrt{25}} \right )=\dfrac{1}{2}\left ( 1-\dfrac{1}{5} \right )=\dfrac{2}{5}.$

 

$\Rightarrow $ đpcm.