Chủ đề này có 19 trả lời

[sidavip113]

Bài 1: Cho $0<a\leq b\leq c; c\geq 9; 8c\geq 36+bc; 12c\geq 36+bc+4ac$, chứng minh rằng: $$\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}\leq 0$$
Bài 2: Cho $a,b,c$ là 3 số thực khác $0$ sao cho $2(ab+bc+ca)\geq a^2+b^2+c^2$, chứng minh rằng: $$\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{bc}{b^{2}+c^{2}}+\frac{ca}{c^{2}+a^{2}}>\frac{1}{2}$$
Bài 3:Cho $m,n,p$ là các số thực dương Chứng minh: $$\frac{m}{(n+p)^2}+\frac{n}{(p+m)^2}+\frac{p}{(m+n)^2}\geq \frac{9}{4(m+n+p)}$$
Bài 4:Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương thoả $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=4$, chứng minh rằng: $$\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^3+c^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{c^3+d^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{d^3+a^3}{2}}\leq 2(a+b+c+d)-4$$
Bài 5: Cho các số thực dương $a,b,c$, chứng minh rằng: $$\frac{a}{a^2+ab+bc}+\frac{b}{b^2+bc+ca}+\frac{c}{c^2+ca+ab}\geq \frac{9(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^3}$$
Bài 6: Cho các số thực $a,b,c>0$ sao cho $abc=1$, chứng minh rằng: $$(a+b)(b+c)(c+a)\geq 4(a+b+c-1)$$

Thêm 1 bài cuối nhé, tờ giấy bị rách câu 6 mới tìm lại được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sidavip113: 04-12-2012 - 12:43

[Joker9999]

Bài 2: Cho $a,b,c$ là 3 số thực khác $0$ sao cho $ab+bc+ca\geq0$, chứng minh rằng: $$\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{bc}{b^{2}+c^{2}}+\frac{ca}{c^{2}+a^{2}}>\frac{1}{2}$$

Bài này có thiếu điều kiện $a^2+b^2+c^2\leq 2(ac+ab+bc)$ không nhỉ?

[Joker9999]

Bài 3:Chứng minh: $$\frac{m}{(n+p)^2}+\frac{n}{(p+m)^2}+\frac{p}{(m+n)^2}\geq \frac{9}{4(m+n+p)}$$

Bài này thì có thiếu a,b,c dương không. Nếu không cho m=-2,n=-3,p=-4 vào sai .

[Joker9999]

Bài 2: Cho $a,b,c$ là 3 số thực khác $0$ sao cho $2(ab+bc+ca)\geq a^2+b^2+c^2$, chứng minh rằng: $$\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{bc}{b^{2}+c^{2}}+\frac{ca}{c^{2}+a^{2}}>\frac{1}{2}$$

Bạn sửa rồi à?
Giải như sau:
BDt tương đương với
$\sum \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2}\geq 4$
$\sum \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2}\geq \frac{4(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}=2+\frac{4(ab+ac+bc)}{a^2+b^2+c^2}\geq 4$.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b,c=0$ và các hoán vị
Chứng minh của Linh được hoàn tất.

[Joker9999]

Bài 3:Cho $m,n,p$ là các số thực dương Chứng minh: $$\frac{m}{(n+p)^2}+\frac{n}{(p+m)^2}+\frac{p}{(m+n)^2}\geq \frac{9}{4(m+n+p)}$$

Bài này thì cũng dễ thui.
Giải như sau:
BDt đã cho tương đương với:
$\sum \frac{m^2}{(n+p)^2}+\sum \frac{m}{n+p}\geq \frac{9}{4}\Leftrightarrow$
$\sum \frac{m^2}{(n+p)^2}+\sum \frac{m}{n+p}\geq 2\sum \frac{m}{n+p}-\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m=n=p

[banhgaongonngon]

Bài 3:
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có file:///C:\DOCUME~1\HOACUT~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image002.gif
Theo BDDT Nesbitt: file:///C:\DOCUME~1\HOACUT~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image002.gif.
Từ đó suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 27-11-2012 - 22:16

[Joker9999]

Bài 3 áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz rồi áp dụng Nesbitt (chắc thế )

Bài 3 mình giải ở trên rùi bạn, y như bạn nói :-s

[sidavip113]

Bài này thì cũng dễ thui.
Giải như sau:
BDt đã cho tương đương với:
$\sum \frac{m^2}{(n+p)^2}+\sum \frac{m}{n+p}\geq \frac{9}{4}\Leftrightarrow$
$\sum \frac{m^2}{(n+p)^2}+\sum \frac{m}{n+p}\geq 2\sum \frac{m}{n+p}-\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m=n=p

Bạn bị một chỗ sai rồi $\sum \frac{m^2}{(n+p)^2}+\sum \frac{m}{n+p}\geq 2\sum \frac{m}{n+p}-\frac{3}{4}\geq \frac{9}{4}$, mai mốt chú ý kỹ nghe, nesbitt là $\geq$ chứ không phải $=$ đâu!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sidavip113: 28-11-2012 - 11:37

[Joker9999]

Bạn bị một chỗ sai rồi $\sum \frac{m^2}{(n+p)^2}+\sum \frac{m}{n+p}\geq 3\sum \frac{m}{n+p}-\frac{3}{4}\geq \frac{9}{4}$, mai mốt chú ý kỹ nghe, nesbitt là $\geq$ chứ không phải $=$ đâu!

Bạn nói j tớ không hiểu à=))

[Joker9999]

Bạn bị một chỗ sai rồi $\sum \frac{m^2}{(n+p)^2}+\sum \frac{m}{n+p}\geq 3\sum \frac{m}{n+p}-\frac{3}{4}\geq \frac{9}{4}$, mai mốt chú ý kỹ nghe, nesbitt là $\geq$ chứ không phải $=$ đâu!

Nhầm chỗ đấy. Phải là 2 chứ bạn.

[tramyvodoi]

Bài 1: Cho $0<a\leq b\leq c; c\geq 9; 8c\geq 36+bc; 12c\geq 36+bc+4ac$, chứng minh rằng: $$\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}\leq 0$$
Bài 2: Cho $a,b,c$ là 3 số thực khác $0$ sao cho $2(ab+bc+ca)\geq a^2+b^2+c^2$, chứng minh rằng: $$\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{bc}{b^{2}+c^{2}}+\frac{ca}{c^{2}+a^{2}}>\frac{1}{2}$$
Bài 3:Cho $m,n,p$ là các số thực dương Chứng minh: $$\frac{m}{(n+p)^2}+\frac{n}{(p+m)^2}+\frac{p}{(m+n)^2}\geq \frac{9}{4(m+n+p)}$$
Bài 4:Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương thoả $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=4$, chứng minh rằng: $$\sqrt{\frac{a^3+b^3}{2}}+\sqrt{\frac{b^3+c^3}{2}}+\sqrt{\frac{c^3+d^3}{2}}+\sqrt{\frac{d^3+a^3}{2}}\leq 2(a+b+c+d)-4$$
Bài 5: Cho các số thực dương $a,b,c$, chứng minh rằng: $$\frac{a}{a^2+ab+bc}+\frac{b}{b^2+bc+ca}+\frac{c}{c^2+ca+ab}\geq \frac{9(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^3}$$

Mình xin giải bài 4:
$\sum \sqrt{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}}\leq 2(a+b+c+d)-4$
Ta sẽ dùng bổ đề sau:
$\sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}}\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}$ với $a,b \geq 0$
$\Rightarrow$ $\sum \sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}}\leq \sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}$
Ta cần chứng minh:
$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\leq 2(a+b+c+d)-4$
$\Leftrightarrow$ $\sum a+b- \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geq 4$
$\Leftrightarrow$ $\sum \frac{2ab}{a+b}\geq 4$
$\Leftrightarrow$ $\sum \frac{ab}{a+b}\geq 2$
$\Leftrightarrow$ $\sum \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\geq 2$
Mặc khác:
$\sum \frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{a}}\geq \frac{16}{2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d})} \geq 2$
do $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = 4$
$\Rightarrow$ $Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 03-12-2012 - 21:44

[Oral1020]

Bạn bị một chỗ sai rồi $\sum \frac{m^2}{(n+p)^2}+\sum \frac{m}{n+p}\geq 2\sum \frac{m}{n+p}-\frac{3}{4}\geq \frac{9}{4}$, mai mốt chú ý kỹ nghe, nesbitt là $\geq$ chứ không phải $=$ đâu!

Không.Chị Joker9999 là tính cái $2\sum \frac{m}{n+p}-\frac{3}{4}\geq \frac{9}{4}$Chứ không phải là bằng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 28-11-2012 - 17:20

[banhgaongonngon]

Bài 3 mình giải ở trên rùi bạn, y như bạn nói :-s

ax, mình ko để ý, thấy là làm thôi Ai ngờ bạn làm r à

[Joker9999]

ax, mình ko để ý, thấy là làm thôi Ai ngờ bạn làm r à

Uh. không có j. Lần sau chú ý nha

[sidavip113]

Mình xin giải bài 4:
$\sum \sqrt{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}}\leq 2(a+b+c+d)-4$
Ta sẽ dùng bổ đề sau:
${\sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}}\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}}$ với $a,b\geq 0$
=>$\sum \sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}}\leq \sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}$
Ta cần chứng minh:
$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\leq 2(a+b+c+d)-4$
<=>$\sum a+b- \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geq 4$
<=>$\sum \frac{2ab}{a+b}\geq 4$
<=>$\sum \frac{ab}{a+b}\geq 2$
<=>$\sum \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\geq 2$
Mặc khác:
$\sum \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{a}}\geq \frac{16}{2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})}\geq 2$
do$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=4$
=>đpcm

Bổ đề chứng minh sao vạy bạn

[Secrets In Inequalities VP]

Bài 6: Cho các số thực $a,b,c>0$ sao cho $abc=1$, chứng minh rằng: $$(a+b)(b+c)(c+a)\geq 4(a+b+c-1)$$

Thêm 1 bài cuối nhé, tờ giấy bị rách câu 6 mới tìm lại được

Lâu lâu chém tí BĐT cho vui ! ^^
Áp dụng bổ đề quen thuộc :$(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(ab+bc+ca)(a+b+c)$
Ta chỉ cần phải CM : $\frac{8}{9}(ab+bc+ca)(a+b+c)\geq 4(a+b+c-1)$
Chia cả 2 vế cho $a+b+c$ ta đc BĐT tương đương là :
$$\frac{8}{9}(ab+bc+ca)+\frac{4}{a+b+c}\geq 4$$
Đúng theo $AM-GM$ :
$VT= \frac{4}{9}(ab+bc+ca)+\frac{4}{9}(ab+bc+ca)+\frac{4}{a+b+c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{4^{3}}{9^{2}}\frac{(ab+bc+ca)^2}{a+b+c}}$
$$3\sqrt[3]{\frac{4^{3}}{9^{2}}\frac{(ab+bc+ca)^2}{a+b+c}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{4^{3}}{9^{2}}.\frac{3abc(a+b+c)}{a+b+c}}= 4$$
Vậy ta có $Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 01-12-2012 - 21:12

[BoFaKe]

Bổ đề chứng minh sao vạy bạn

Lập phương và khai triển.(Mình đoán thế )

[Joker9999]

Bài 5: Cho các số thực dương $a,b,c$, chứng minh rằng: $$\frac{a}{a^2+ab+bc}+\frac{b}{b^2+bc+ca}+\frac{c}{c^2+ca+ab}\geq \frac{9(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^3}$$

THam khảo tại http://diendantoanho...2z/#entry374922

[duong vi tuan]

Bổ đềcuar bạn đó cm như sau : $$\frac{1}{2}(a+b)^3(a^3+b^3)=\frac{1}{2}(a+b)^4(a^2-ab+b^2)=\frac{1}{8}(a^2+2ab+b^2)^2(4a^2-4ab+4b^2)\leq (a^2+b^2)^3$$.
Nhưng mà mình không hiểu. Đề cho căn bậc 2 mà ban đó dùng căn bậc 3 ???

[Joker9999]

Bổ đềcuar bạn đó cm như sau : $$\frac{1}{2}(a+b)^3(a^3+b^3)=\frac{1}{2}(a+b)^4(a^2-ab+b^2)=\frac{1}{8}(a^2+2ab+b^2)^2(4a^2-4ab+4b^2)\leq (a^2+b^2)^3$$.
Nhưng mà mình không hiểu. Đề cho căn bậc 2 mà ban đó dùng căn bậc 3 ???

Chị ý nhầm bạn à.