Chủ đề này có 3 trả lời

[supermember]

Tìm tất cả các hàm số $ f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ thoả mãn:

$ xf(y) - yf(x) = f \left( \frac{y}{x} \right) \ \ \forall \ \ x; y \in \mathbb{R} ; x \ne 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 26-11-2012 - 22:15

[perfectstrong]

Sẽ post lại sau:D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 04-12-2012 - 22:28

[supermember]

Lời giải trên bị sai chỗ nào đó rồi

Kết quả đúng phải là : $f\left ( x \right ) = \left\{\begin{matrix} 0 \ \ , x=0 & \\ c\left ( x-\frac{1}{x} \right ) \ \ , x \ne 0 & \end{matrix}\right.$

Trong đó $c$ là hằng số tuỳ ý thuộc $ \mathbb{R}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 04-12-2012 - 21:47

[tranghieu95]

Tìm tất cả các hàm số $ f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ thoả mãn:

$ xf(y) - yf(x) = f \left( \frac{y}{x} \right) \ \ \forall \ \ x; y \in \mathbb{R} ; x \ne 0$

Cho $x=y$ ta có: $f(1)=0$
Cho $t=1$ ta có: $f(x)=-f \left( \dfrac{1}{x} \right)$
Thay $x$ bởi $\dfrac{1}{x}$ ta có: $\dfrac{f(y)}{x}-yf \left( \dfrac{1}{x} \right) =f(xy)$
$\Leftrightarrow \dfrac{f(y)}{x}+yf(x)=f(xy)$
Thay $y$ bởi $\dfrac{1}{y}$ ta có: $x \left ( \dfrac{1}{y} \right) -\dfrac{f(x)}{y}=f \left ( \dfrac{1}{xy} \right)$
$\Leftrightarrow xf(y)+\dfrac{f(x)}{y}=f(xy)$
$\Rightarrow \dfrac{f(y)}{x}+yf(x)=xf(y)+\dfrac{f(x)}{y}$
$\Rightarrow \dfrac{f(x)}{x-\dfrac{1}{x}}=\dfrac{f(y)}{y-\dfrac{1}{y}}, \forall x, y \ne 0$
$\Rightarrow f(x)=C.\left (x-\dfrac{1}{x} \right) , \forall x \ne 0$
Vậy $ f(x)=C.\left (x-\dfrac {1}{x} \right) , \forall x \ne 0$ và $f(0)=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranghieu95: 06-12-2012 - 13:17