Chủ đề này có 1 trả lời

[macves]

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất lớn hơn 1 để $(n + 1)(2n + 1)$ chia hết cho 6 và thương trong phép chia $(n+1)(2n + 1)$ cho 6 là một số chính phương.
_________________
Mod: Chú ý $\LaTeX$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 08-12-2012 - 15:03

[Math Is Love]

...
Suy ra ta cần tìm nghiệm nguyên phương trình m^2-12n^2=\pm1 hoặc 3m^2-4m^2=\pm1 sao cho mn min trong do mn=k
Ta giải phương trình pell thấy nghiệm min là m=7,n=2
Suy ra k=14 suy ra x=...,y=...

Bác Quân pro mới làm được cách này chứ tớ thì hiểu biết có hạn nên đọc cũng không hiểu!Hic!Cách của tớ thì may mắn lợi dụng được việc $n$ không quá lớn nên không dùng nhiều kiến thức cao cấp như của Quân!

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất lớn hơn 1 để $(n + 1)(2n + 1)$ chia hết cho 6 và thương trong phép chia $(n+1)(2n + 1)$ cho 6 là một số chính phương.

Giải như sau:
Đặt $(n+1)(2n+1)=6k^2$.
Theo bổ đề chìa khóa $Euler$ thì $\gcd(n+1;2n+1)=\gcd(n+1;n)=1$
Mà $6=2.3$ và $n>1$ nên ta có:
$\left\{\begin{matrix} n+1=2q^2\\2n+1=3p^2 \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} n+1=3q^2\\ 2n+1=2p^2 \end{matrix}\right.$ với $p.q=k$ và $\gcd(p,q)=1$
Gọi $2$ TH trên lần lượt là $(I)$ và $(II)$.
Dễ nhận thấy $n$ phải lẻ để $(n+1)(2n+1)$ chia hết cho $6$.
Do đó ta loại bỏ TH$(II)$ do $\left\{\begin{matrix}2\not|2n+1\\ 2|2p^2\end{matrix}\right.$,mâu thuẫn.
Vậy
$\left\{\begin{matrix} n+1=2q^2\\2n+1=3p^2 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow 4q^2=2(n+1)=(2n+1)+1=3p^2+1$
$\Leftrightarrow 3p^2=(2q-1)(2q+1)$
Vì $3p^2$ lẻ do $2n+1$ lẻ mà $\gcd(2q-1;2q+1)\leq 2$ nên $\Rightarrow \gcd(2q-1;2q+1)=1$
Ta lại tiếp tục có:
$\left\{\begin{matrix} 2q-1=3t^2\\2q+1=s^2 \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} 2q-1=t^2\\ 2q+1=3s^2 \end{matrix}\right.$ với $s.t=p$ và $\gcd(s;p)=1$
Gọi $2$ TH trên lần lượt là $(III)$ và $(IV)$
Ta loại bỏ TH $(III)$ vì
$s^2\equiv 1 (\mod 3)\Rightarrow 2q+1\equiv 1 (\mod 3)\Rightarrow 3|q \Rightarrow$ mâu thuẫn vì $3|2q-1$
Vậy $\left\{\begin{matrix} 2q-1=t^2\\ 2q+1=3s^2 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow t^2+2=3s^2$
$n>1\Rightarrow s;t>1$
(+) $s=2\Rightarrow$ không thỏa mãn
(+) $s=3\Rightarrow t=5$
Vậy $\left\{\begin{matrix} s=3\\ t=5 \end{matrix}\right.$ là giá trị nhỏ nhất của $t;s$
Vậy $\Rightarrow n=\frac{3.3^2.5^2-1}{2}=337$
Kết luận: $n=337$ là giá trị nhỏ nhất của $n$ $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doxuantung97: 28-11-2012 - 16:44