Chủ đề này có 1 trả lời

[milinh7a]

Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh rằng: $$\sum \frac{a^2+2bc}{(b+c)^2}\geq \sum \frac{3}{2}\frac{a}{b+c}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 27-11-2012 - 19:31

[Joker9999]

Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh rằng: $$\sum \frac{a^2+2bc}{(b+c)^2}\geq \sum \frac{3}{2}\frac{a}{b+c}$$

Giải như sau:
BDT đã cho tương đương với:
$\sum (\frac{a^2+2bc}{(b+c)^2}-\frac{3}{4})\geq \frac{3}{2}(\sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{2})$
$\Leftrightarrow \sum \frac{(a^2-b^2)+(a^2-c^2)}{2(b+c)^2}-\sum \frac{(b-c)^2}{4(b+c)^2}\geq \frac{3}{4}\frac{(a-b)^2}{(a+c)(b+c)}$
$\Leftrightarrow \sum (a-b)^2\frac{(a+b)(a+b+2c)}{(b+c)^2(a+c)^2}-\sum \frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}-\sum \frac{3}{4}\frac{(a-b)^2}{(a+c)(b+c)}\geq 0$
Đưa BDT đó về dạng$\sum S_{c}(a-b)^2\geq 0$
$S_{c}=\frac{(a+b)(a+b+2c)}{2(b+c)^2(a+c)^2}-\frac{1}{4(a+b)^2}-\frac{3}{4(a+b)(b+c)}$, tương tự cho $S_{a}$ và$S_{b}$.
Dễ dàng CM 3 cái đó dương ( chỉ cần quy đồng và triệt tiêu+AM-GM)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.