Chủ đề này có 1 trả lời

[ilovelife]

Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{\sqrt{1+2x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+2y^2}}=\frac{2}{\sqrt{1+2xy}}\\
\sqrt{x-2x^2} + \sqrt{y-2y^2}=\frac 29
\end{matrix}\right.$$
(nếu tiêu đề không ổn mong mấu mod sửa hộ)

[nthoangcute]

Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{\sqrt{1+2x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+2y^2}}=\frac{2}{\sqrt{1+2xy}}\\
\sqrt{x-2x^2} + \sqrt{y-2y^2}=\frac 29
\end{matrix}\right.$$
(nếu tiêu đề không ổn mong mấu mod sửa hộ)

Có thể làm như sau:
Ta có $0 \leq x,y \leq \frac{1}{2}$ suy ra $ 2xy-1<0$
Ta sẽ chứng minh BĐT:
$$\frac{1}{\sqrt{1+2x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+2y^2}} \leq \frac{2}{\sqrt{1+2xy}}$$
Thật vậy:
$VT^2 \leq \frac{2}{1+2x^2}+ \frac{2}{1+2x^2}$
Ta cần chứng minh $\frac{1}{1+2x^2}+ \frac{1}{1+2x^2} \leq \frac{2}{1+2xy}$
Thật vậy, BĐT tương đương với $\frac{2(2xy-1)(x-y)^2}{(1+2x^2)(1+2y^2)(1+2xy)} \leq 0$
.OK
Từ đó ta được x=y
Thay vào PT(2) ta được:
$x=y=\frac{9 \pm \sqrt{73}}{36}$