Chủ đề này có 3 trả lời

[duongvanhehe]

Bài toán:
Cho $a,b,c\geq 0$ .CMR:

$\frac{a}{b^2-bc+c^2}+\frac{b}{c^2-ca+a^2}+\frac{c}{a^2-ab+b^2}\geq \frac{2}{\sqrt{ab+bc+ca}}$

[WhjteShadow]

Bài toán:
Cho $a,b,c\geq 0$ .CMR:

$\frac{a}{b^2-bc+c^2}+\frac{b}{c^2-ca+a^2}+\frac{c}{a^2-ab+b^2}\geq \frac{2}{\sqrt{ab+bc+ca}}$

Em thích làm bài anh Đông nhất ^^~
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
$$\mathcal{P}_{(a;b;c)}=\sqrt{ab+bc+ca}.\left(\frac{a}{b^2-bc+c^2}+\frac{b}{c^2-ca+a^2}+\frac{c}{a^2-ab+b^2}\right)\geq 2$$
Không mất tính tổng quát, giả sử $c=Min(a;b;c)$. Ta sẽ chứng minh:
$$\mathcal{P}_{(a;b;c)}\geq \mathcal{P}_{(a;b;0)}$$
Hay là :
$$\sqrt{ab+bc+ca}.\left(\frac{a}{b^2-bc+c^2}+\frac{b}{c^2-ca+a^2}+\frac{c}{a^2-ab+b^2}\right)\geq \sqrt{ab}.\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\right)$$
Điều này luôn đúng do $\sqrt{ab+bc+ca}\geq \sqrt{ab}$ và: $\frac{a}{b^2-bc+c^2}\geq \frac{a}{b^2}\\ \frac{b}{c^2-ca+a^2}\geq \frac{b}{a^2}\\ \frac{c}{a^2-ab+b^2}\geq 0$
Vậy cuối cùng chỉ cần chỉ ra $\mathcal{P}_{(a;b;0)}\geq 2$ hay:
$$\sqrt{ab}.\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\right)\geq 2$$
$$\Leftrightarrow \frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\geq \frac{2}{\sqrt{ab}}$$
Điều này hiển nhiên đúng the0 bất đẳng thức $AM-GM$ 2 số dương :")
Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b,c=0$ và các hoán vị tương ứng $\square$

[duongvanhehe]

Em thích làm bài anh Đông nhất ^^~
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
$$\mathcal{P}_{(a;b;c)}=\sqrt{ab+bc+ca}.\left(\frac{a}{b^2-bc+c^2}+\frac{b}{c^2-ca+a^2}+\frac{c}{a^2-ab+b^2}\right)\geq 2$$
Không mất tính tổng quát, giả sử $c=Min(a;b;c)$. Ta sẽ chứng minh:
$$\mathcal{P}_{(a;b;c)}\geq \mathcal{P}_{(a;b;0)}$$
Hay là :
$$\sqrt{ab+bc+ca}.\left(\frac{a}{b^2-bc+c^2}+\frac{b}{c^2-ca+a^2}+\frac{c}{a^2-ab+b^2}\right)\geq \sqrt{ab}.\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\right)$$
Điều này luôn đúng do $\sqrt{ab+bc+ca}\geq \sqrt{ab}$ và: $\frac{a}{b^2-bc+c^2}\geq \frac{a}{b^2}\\ \frac{b}{c^2-ca+a^2}\geq \frac{b}{a^2}\\ \frac{c}{a^2-ab+b^2}\geq 0$
Vậy cuối cùng chỉ cần chỉ ra $\mathcal{P}_{(a;b;0)}\geq 2$ hay:
$$\sqrt{ab}.\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\right)\geq 2$$
$$\Leftrightarrow \frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\geq \frac{2}{\sqrt{ab}}$$
Điều này hiển nhiên đúng the0 bất đẳng thức $AM-GM$ 2 số dương :")
Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b,c=0$ và các hoán vị tương ứng $\square$

Bài này thì sao ?
$\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\geq \frac{2}{\sqrt{ab+bc+ca}}$

[Joker9999]

Bài này thì sao ?
$\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\geq \frac{2}{\sqrt{ab+bc+ca}}$

Giải như sau:
Trước hết ta chứng minh:
$\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\geq \frac{4}{5}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c})$
Thật vậy
Sử dụng BDT Cauchy-Schwarz ta có:
$(\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2})(a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2))\geq (a+b+c)^2$
Ta sẽ chứng minh:
$\frac{(a+b+c)^2}{ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)}\geq \frac{4}{5}\frac{\sum a^2+3\sum ab}{\sum ab(a+b)+2abc}$
Đặt $x=a^2+b^2+c^2,y=ab+ac+bc,z=ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)$ thì BDT trên tương đương với:
$\frac{5(x+2y)}{z}\geq \frac{4(x+3y)}{z+2abc}\Leftrightarrow xz+10abcx+20abcy\geq 2yz$
Mặt khác:
$yz=\sum a^2b^2(a+b)+2abc(x+y);$
$xz\geq \sum ab(a+b)(a^2+b^2)\geq 2\sum \sum a^2b^2(a+b)$
Từ đây có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b,c=0$ và các hoán vị
Trở lại bài toán:
Ta sẽ chứng minh:
$\frac{4}{5}(\sum \frac{1}{a+b})\geq \frac{2}{\sqrt{ab+ac+bc}}$
Ta chuẩn hoá cho $a+b+c=2$
Chuyển BDT trên vè ngôn ngữ $p,q,r$ ta cần chứng minh:
$\frac{2(p^2+q)}{pq-r}\geq \frac{5}{\sqrt{q}}$
$\Leftrightarrow 2p^2\sqrt{q}+5q\sqrt{q}+$5r$\geq 5pq$

TH1: $q\leq 1$
Ta CM 1 BDt mạnh hơn là $2p^2\sqrt{q}+2q\sqrt{q}\geq 5pq\Leftrightarrow \sqrt{q}(p-2\sqrt{q})(2p-\sqrt{q})\geq 0$( đúng do $2\sqrt{q}\leq 2=p$)
TH2: $q\geq 1$
Theo BDT Schur quen thuộc thì: $a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ac+bc+ab)$, kết hợp $p=2$ ta có:
$5r\geq \frac{5p(4q-p^2)}{9}=\frac{40q-40}{9}$
Như vậy ta cần Cm:
$8\sqrt{q}+2q\sqrt{q}+\frac{40q-40}{9}\geq 10q\Leftrightarrow \frac{1}{9}(\sqrt{q}-1)(9q-16\sqrt{q}+20)\geq 0$
( đúng do $q\geq 1\Rightarrow \sqrt{q}\geq 1$ và biểu thức trong ngoặc thứ 2 có $\Delta$$\leq 0$)

Tóm lại ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=1,c=0$ và các hoán vị.