3 replies to this topic

[Le Quoc Tung]

Cho a,b,c là 3 nghiệm nguyên của phương trình bậc 3: $x^{3}-x-1=0$.
Chứng minh rằng, với mọi $0\leq i\leq p$ , p bất kỳ, i,p nguyên dương, ta đều có
$a^{i}b^{p-i}+b^{i}c^{p-i}+c^{i}a^{p-i}$ nguyên
( Nghĩa là nguyên với mọi biểu thức đối xứng a,b,c)

Edited by Nguyen Lam Thinh, 29-11-2012 - 21:59.

[gogo123]

Cho a,b,c là 3 nghiệm nguyên của phương trình bậc 3: $x^{3}-x-1=0$.
Chứng minh rằng, với mọi $0\leq i\leq p$ , p bất kỳ, i,p nguyên dương, ta đều có
$a^{i}b^{p-i}+b^{i}c^{p-i}+c^{i}a^{p-i}$ nguyên

Cái này sai rồi.Đây không phải là biểu thức đối xứng $a,b,c$, nó chỉ là hoán vị thôi.

Cho a,b,c là 3 nghiệm nguyên của phương trình bậc 3: $x^{3}-x-1=0$.
Nghĩa là nguyên với mọi biểu thức đối xứng a,b,c

Nhưng cái này lại đúng.
Ta có $a,b,c$ là các số đại số nguyên (vì là nghiệm của đa thức hệ số nguyên) và thõa mãn định lí VIét.Tức là : $a+b+c=0;ab+bc+ca=-1;abc=1$.
Ta sẽ chứng minh mọi biểu thức đối xứng của $a,b,c$ luôn biểu diễn được dưới dạng đa thức 3 biến hệ số nguyên $P(a+b+c,ab+bc+ca,abc)$ .
Như vậy theo nhận xét ở trên về giá trị của ba biến này ta suy ra được $P(a+b+c,ab+bc+ca,abc)$ nhận giá trị nguyên.
Chứng minh cái này thì : Với mỗi biểu thức đối xứng đã có thì bạn chỉ việc đổi chỗ biến $a$ với $b$, rồi với $c$, nhớ giữ nguyên vị trí các số hạng, khi đó cộng lại các biểu thức ở trên theo từng bộ ba ta sẽ nhận được $P(a+b+c,ab+bc+ca,abc)$

P/s: Mình nghĩ bạn đang làm bài dãy số AMM, hôm trước thằng bạn mình cũng chép mà không giải thích được tại sao lại nguyên, thực tế đoạn bạn nói đó thì phải nhớ rằng nếu ta tách về $a^{i}b^{p-i}+b^{i}c^{p-i}+c^{i}a^{p-i}$ được thì ta cũng có thể tách về đa thức $a^{p-i}b^{i}+b^{p-i}c^{i}+c^{p-i}a^{i}$. khi đó bạn chỉ việc cộng hai đa thức tách ra rồi chia 2 thì vẫn được một biểu thức đối xứng 3 biến $a,b,c$.

Edited by gogo123, 11-12-2012 - 23:23.

[cool hunter]

Cho a,b,c là 3 nghiệm nguyên của phương trình bậc 3: $x^{3}-x-1=0$.
Chứng minh rằng, với mọi $0\leq i\leq p$ , p bất kỳ, i,p nguyên dương, ta đều có
$a^{i}b^{p-i}+b^{i}c^{p-i}+c^{i}a^{p-i}$ nguyên
( Nghĩa là nguyên với mọi biểu thức đối xứng a,b,c)

cho t hỏi là bài này a,b,c là nghiệm nguyên có phải nghĩa là thuộc tập Z không, hay có ý nghĩa gì khác, vì t thấy pt đã cho không có nghiệm thuộc Z.

[gogo123]

$a,b,c$ không bắt buộc là nghiệm thuộc $Z$ . Như mình đã nói ở trên tức là $a,b,c$ là các số phức sao cho nó là nghiệm của một đa thức hệ số nguyên là được.