Các bài thảo luận có thể post ở đây, nhưng xin các bạn hãy tuân thủ các tiêu chí sau để topic được "" xanh, sạch ,đẹp:d""
--- Post bài nào cần tô đậm , gạch chân và ghi rõ: Problem+ số bài: VD: Problem 1,..
---- Không post thêm khi có quá 3 bài chưa giải quyết
------ Có thể thảo luận nhưng ko spam.
MÌnh xin được sự ủng hộ và giúp đỡ của các bạn, nhất là các ĐHV>
Trước hết xin nhăc lại về BDT Schur và phương pháp đổi biến p,q,r
I, Bất đẳng thức Schur:
Với các số thực $a,b,c$ không âm ta luôn có:
$a^t(a-b)(a-c)+b^t(b-c)(b-a)+c^t(c-a)(c-b)\geq 0$
2 trường hợp quen thuộc là k=1 và k=2.Và những dạng quen thuộc nữa:
Với $k=1$
1)$a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab+ac+bc$
2)$4(a^3+b^3+c^3)+15abc\geq (a+b+c)^3$
3)$a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{ab+ac+bc}\geq 2(ac+ab+bc)$
4)$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{4abc}{(a+b)(a+c)(b+c)}\geq 2$
Với $k=2$1)$a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)\geq ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ac(a^2+c^2)$
2) $6abc(a+b+c)\geq (2ab+2bc+2ac-a^2-b^2-c^2)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$
II, Phương pháp đổi biến p,q,r
Đối với 1 BDT thuần nhất có các biến đối xứng không âm, ta có thể biến đổi lại như sau: Đặt $p=a+b+c,q=ab+ab+bc,r=abc$, thu được các đẳng thức sau:
$ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)=pq-3r$
$(a+b)(a+c)(b+c)=pq-r$
$ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ac(a^2+c^2)=p^2q-2q^2-pr$
$a^2+b^2+c^2=p^2-2q$
$a^3+b^3+c^3=p^3-3pr+3r$
$a^4+b^4+c^4=p^4-4p^2q+2q^2+4pr$
$a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2=q^2-2pr$
v.v..v..
Và ta có thể thấy ngay các BDT sau thông qua việc đổi biến như vậy:$p^2\geq 3q$
$p^3\geq 27r$
$q^2\geq 3pr$
$2p^3+9r\geq 7pq$
$p^2q+3pr\geq 4q^2$
$p^4+4q^2+6pr\geq 5p^2q$
Từ BDT Schur ta có:$r\geq max {{0,\frac{p(4q-p^2)}{9}}}$
$r\geq max{{0,\frac{(4q-p^2)(p^2-q)}{6p}}}$
Có lẽ thế là đủ. Sau đây sẽ là các VD minh hoạ.Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Joker9999: 30-11-2012 - 22:38
