Tại 3 đỉnh của $\Delta ABC$ có ghi tương ứng 3 số a,b,c không đồng thời bằng nhau. Người ta thực hiện phép thay đổi các số taị 3 đỉnh tam giác như sau: nếu ở bước trứơc tại 3 đỉnh có ghi 3 số (x,y,z) thì bước tiếp theo sẽ ghi 3 số là (x+y-2z; y+z-2x; z+x-2y). chứng minh rằng xuất phát từ bộ (a,b,c) sau một số lần thực hiện phép toán trên ta nhận được bộ 3 số mà ít nhất 1 trong 3 số của nó không nhỏ hơn 2012.
#2
Đã gửi 02-12-2012 - 12:01
The Gunner
-
- Thành viên
-
- 93 Bài viết
Hạ sĩ
Bài này áp dụng bđt sau, với $a+b+c=0$ thì ta có $2(a^2+b^2+c^2) \leq (a+b-2c)^2+(b+c-2a)^2+(a+c-2b)^2$
Từ đó đặt $S_n=a_n^2+b_n^2+c_n^2$ với $a_n,b_n,c_n$ là số tại các đỉnh A,B,C sau n bước thực hiện suy ra $S_{n+1}\geq 2S_{n}$
suy ra $S_n \geq 2^{n-1}S_1$ ( vì $a,b,c$ đôi một khác nhau nên $S_1>0$)
Do đó ta luôn có S_n lớn tùy ý nên các trong các số $|a_i|,|b_i|,|c_i|$ sẽ có ít nhất một số lớn tùy ý mà vì $a+b+c=0$ nên nếu có số tiến đến âm vô cùng thì phải có một số tiếng đến dương vô cùng. Do đó tồn tại một đỉnh trong tam giác có số tại đó có thể lớn tùy ý, suy ra có ít nhất một số lớn hơn 2012
Từ đó đặt $S_n=a_n^2+b_n^2+c_n^2$ với $a_n,b_n,c_n$ là số tại các đỉnh A,B,C sau n bước thực hiện suy ra $S_{n+1}\geq 2S_{n}$
suy ra $S_n \geq 2^{n-1}S_1$ ( vì $a,b,c$ đôi một khác nhau nên $S_1>0$)
Do đó ta luôn có S_n lớn tùy ý nên các trong các số $|a_i|,|b_i|,|c_i|$ sẽ có ít nhất một số lớn tùy ý mà vì $a+b+c=0$ nên nếu có số tiến đến âm vô cùng thì phải có một số tiếng đến dương vô cùng. Do đó tồn tại một đỉnh trong tam giác có số tại đó có thể lớn tùy ý, suy ra có ít nhất một số lớn hơn 2012
- perfectstrong và thanh hai nguyen thích
Những ngày cuối cùng còn học toán
winwave1995
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
