Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố dạng:
b) $p=8k+3$
Giải như sau:
Bổ đề: $a^2+2b^2 \vdots p$ và $gcd(a,b)=1$ khi ấy $p \equiv 1,3 \pmod{8}$
Chứng minh:
Giả sử phản chứng tức là $p \equiv 5,7 \pmod{8}$ mà $x,y \not \vdots p$
Ta có $x^2 \equiv (-2)y^2 \pmod{p} \Rightarrow x^{p-1} \equiv (-2)^{\frac{p-1}{2}}.y^{p-1} \pmod{p}$
Mà $x,y \not \vdots p$ nên theo Fermat nhỏ suy ra $x^{p-1} \equiv y^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$
Suy ra $(-2)^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod{p} \Rightarrow 2^{\frac{p-1}{2}}.(-1)^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod{p}$
Nếu $p \equiv 5 \pmod{8} \Rightarrow (-1)^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod{8} \Rightarrow 2^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod{p}$ nên $2$ là số chính phương $mod(p)$ do đó theo tính chất thì $p \equiv \pm1 \pmod{8}$ vô lí vì $p \equiv 5 \pmod{8}$
Nếu $p \equiv 7 \pmod{8} \Rightarrow (-1)^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \pmod{8} \Rightarrow 2^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod{p}$ nên $2$ không là số chính phương $mod(p)$ nên $p \not \equiv \pm1 \pmod{8}$ vô lí vì $p \equiv 7 \equiv -1 \pmod{8}$
Như vậy bổ đề được chứng minh
$$**********$$
Xét các số có dạng $2a^2+1$ với $a$ lẻ khi ấy ta sẽ cm $2a^2+1$ có ít nhất một ước nguyên tố chia $8$ dư $3$ hay có dạng $8k+3$
Thật vậy theo bổ đề và $gcd(a,1)=1$ thì $2a^2+1$ chỉ có thể có ước nguyên tố dạng $8k+1,8k+3$ nhưng nếu $2a^2+1$ không có ước nguyên tố nào có dạng $8k+3$ thì $2a^2+1=p_1^{a_1}...p_k^{a_k}$ với $p_i \equiv 1 \pmod{4}$ suy ra $2a^2+1 \equiv 1 \pmod{4} \Rightarrow a^2 \vdots 2$ vô lí do $a$ lẻ như vậy $2a^2+1$ có ít nhất một ước nguyên tố chia $8$ dư $3$
Giả sử phản chứng có hữu hạn số nguyên tố dạng $8k+3$ gọi các số đó lần lượt là $p_1,p_2,...,p_t$ với $p_i \equiv 3 \pmod{8}$
Khi ấy chọn $a=p_1p_2...p_t$ suy ra $2a^2+1$ có ít nhất một ước nguyên tố có dạng $8k+3$ (do $a$ lẻ dễ cm) nên suy ra gọi số đó là $q$ với $q$ nguyên tố và $q \equiv 3 \pmod{8}$ và do $p_1,p_2,...,p_t$ là tất cả số nguyên tố dạng $8k+3$ nên $q \in (p_1,p_2,...,p_t$ khi ấy $a \vdots q$ suy a $1 \vdots q$ vô lí do đó điều giả sử hữu hạn số nguyên tố $8k+3$ là sai hay ta có vô số số nguyên tố có dạng $8k+3$ đây là $đpcm$