Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyenthehoanhsgs]

Cho $x, y, z >0$ thỏa mãn:
$$\frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} + \frac{1}{z+1} =1$$
.Chứng minh rằng:
$$\sum \frac{1}{x^{2}-2x+3} \le 1$$

@Dark Templar:Xem kỹ cách đặt tiêu đề bài viết -cách sử dụng Latex -Tra cứu các công thức Toán -Tập gõ thử công thức Toán.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 01-12-2012 - 21:10

[Joker9999]

Cho $x, y, z >0$ thỏa mãn:
$$\frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} + \frac{1}{z+1} =1$$
.Chứng minh rằng:
$$\sum \frac{1}{x^{2}-2x+3} \le 1$$

Giải như sau:
BDt đã cho tương đương với:
$\sum (\frac{1}{2}-\frac{1}{x^2-2x+3})\geq \frac{1}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{(x-1)^2}{x^2-2x+3}\geq 1$
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz ta có:
$\sum \frac{(x-1)^2}{x^2-2x+3}\geq \frac{(x+y+z-3)^2}{\sum (x^2-2x+3)}\geq 1\Leftrightarrow \sum xy\geq 2\sum x$

Từ điều kiện đề bài ta suy ra:$x+y+z+2=xyz$ nên ta có thể$(x,z,y)\rightarrow (\frac{b+c}{a},\frac{a+c}{b},\frac{a+b}{c})$ với $a,b,c$ dương.
Ta cần CM:
$\sum \frac{(a+b)(a+c)}{bc}\geq 2\sum \frac{a+b}{c}$
$\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b-c)\geq 0$
Đặt các hệ số $S_a,S_b,S_c$ tương ứng , giả sử$a\geq b\geq c$ ta có ngay$S_c\geq S_b\geq S_a$ và $S_c>0$
Công việc của ta là $S_a+S_b\geq 0$ hay$2c\geq 0$. Điều này là hiển nhiên
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=2$
Chứng minh của Linh hoàn tất.