Chủ đề này có 5 trả lời

[Poseidont]

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. CMR
$\frac{a}{a^2+3}+\frac{b}{b^2+3}+\frac{c}{c^2+3}\leq \frac{3}{4}$

[caovannct]

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. CMR
$\frac{a}{a^2+3}+\frac{b}{b^2+3}+\frac{c}{c^2+3}\leq \frac{3}{4}$

Theo AM - GM thì $a^2+3\geq 4\sqrt{a}$
Như vậy vế trái $\leq \frac{1}{4}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\leq \frac{1}{4}(\sqrt{3(a+b+c)})=\frac{3}{4}$
dấu = xảy ra khi a = b= c= 1.
ok???

[Joker9999]

Theo AM - GM thì $a^2+3\geq 4\sqrt{a}$
Như vậy vế trái $\leq \frac{1}{4}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\leq \frac{1}{4}(\sqrt{3(a+b+c)})=\frac{3}{4}$
dấu = xảy ra khi a = b= c= 1.
ok???

Bạn đã giải sai. Ngược dấu đoạn cuối, Cho abc=1 chứ đâu a+b+c=3.

[WhjteShadow]

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. CMR
$\frac{a}{a^2+3}+\frac{b}{b^2+3}+\frac{c}{c^2+3}\leq \frac{3}{4}$

Do $abc=1$ nên lấy Logarith Napier ta có:
$$\ln a+\ln b+\ln c=0$$
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ sau:
$$\frac{a}{a^2+3}\leq \frac{1}{4}+\frac{1}{8}.\ln a$$
Thật vậy xét $f(a)=\frac{a}{a^2+3}- \frac{1}{8}.\ln a$
Ta có : $f'(a)=\frac{3-a^2}{(a^2+3)^2}- \frac{1}{8a}\\ =\frac{(1-a)(a+1)(a^2+15)}{8a(3+a^2)^2}$
Vậy $f'(a)$ đổi dấu từ dương sang âm khi $a=1$. $f(a)_{Max}=f(1)=0$
Thiết lập các bất đẳng thức tương tự và cộng lại ta có:
$$\frac{a}{a^2+3}+\frac{b}{b^2+3}+\frac{c}{c^2+3}\leq \frac{3}{4}+\frac{1}{8}(\ln a+\ln b+\ln c)=\frac{3}{4}$$
Ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=1$ $\heartsuit$ ....

[WhjteShadow]

Cách khác ^^~
Đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$. Ta có bất đẳng thức tương đương:
$$\frac{xy}{x^2+3y^2}+\frac{yz}{y^2+3z^2}+\frac{zx}{z^2+3x^2}\leq \frac{3}{4}$$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
$$x^2+3y^2=(x^2+y^2)+2y^2\geq 2y\sqrt{2(x^2+y^2)}$$
$$\Rightarrow \frac{xy}{x^2+3y^2}\leq \frac{x}{2\sqrt{2(x^2+y^2)}}$$
Tương tự và cộng lại ta cần chứng minh:
$$\sqrt{\frac{x^2}{x^2+y^2}}+\sqrt{\frac{y^2}{y^2+z^2}}+\sqrt{\frac{z^2}{z^2+x^2}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$$
Và đây là 1 kết quả quen thuộc :") ....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 04-12-2012 - 22:49

[Joker9999]

Do $abc=1$ nên lấy Logarith Napier ta có:
$$\ln a+\ln b+\ln c=0$$

Đây là pp j thế. ( Mới vậy. Chỉ tớ link hay sách vs
-------
C tìm PP UCT của a Cẩn nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 04-12-2012 - 22:50