Chủ đề này có 1 trả lời

[chaugaihoangtuxubatu]

Tìm min của :$\frac{sinA+sinB+sinC}{cosA+cosB+cosC}$
Em post lại rồi đây anh
Tran Hoang Anh Arsenal

[25 minutes]

Đặt $A=\frac{sinA+sinB+sinC}{cosA+cosB+cosC}$
Do vai trò của $A,B,C$ là như nhau nên ta có thể giả sử $A=max \left ( A,B,C \right )\Rightarrow A\in \left [ \frac{\Pi }{3},\frac{\Pi }{2} \right ]$ (1)
Ta sẽ chứng minh A$\geq \frac{sinA+2cos\frac{A}{2}}{cosA+2sin\frac{A}{2}}$
$\Leftrightarrow 2cos\frac{B-C}{2}(cosAcos\frac{A}{2}-sinAsin\frac{A}{2})+2(sinAsin\frac{A}{2}-cosAcos\frac{A}{2})\geq 0$
$\Leftrightarrow 2cos\frac{B-C}{2}cos\frac{3A}{2}-2cos\frac{3A}{2}\geq 0$
$\Leftrightarrow cos\frac{3A}{2}(cos\frac{B-C}{2}-1)\geq 0$
$\Leftrightarrow cos\frac{3A}{2}\leq 0\Leftrightarrow \frac{\Pi }{2}\geq A\geq \frac{\Pi }{3}$ ( luôn đúng do giả sử )
Vậy ta thu được A$\geq \frac{sinA+2cos\frac{A}{2}}{cosA+2sin\frac{A}{2}}$ với điều kiện (1)
Đến đây chỉ cần xét đạo hàm theo A là tìm được Min A =$1+\frac{\sqrt{2}}{2}$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 22-04-2013 - 19:57