Chủ đề này có 217 trả lời

[DarkBlood]

$\mathfrak{Bài toán 3:}$ Giãi phương trình:
$ a,$ $ \dfrac{\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{2005}\end{pmatrix}x}{2004+\dfrac{2003}{2}+\dfrac{2002}{3}+...+ \dfrac{1}{2004}}=2005$

Phân tích mẫu của $VT.$
Ta có:
$2004+\frac{2003}{2}+\frac{2002}{3}+...+\frac{1}{2004}$
$=\frac{2005-1}{1}+\frac{2005-2}{2}+\frac{2005-3}{3}+...+\frac{2005-(2005-1)}{2005-1}$
$=2005-1+\frac{2005}{2}-1+\frac{2005}{3}-1+...+\frac{2005}{2005-1}-1$
$=2005+\frac{2005}{2}+\frac{2005}{3}+...+\frac{2005}{2004}-2004$
$=1+2005\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2004} \right )$
$=2005\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2004}+\frac{1}{2005} \right )$
Tới đây dễ rồi ^^~.

[DarkBlood]

$\mathfrak{Bài toán 3:}$ Giãi phương trình:
$e,$ $(x+2)^2+(x+3)^3+(x+4)^4=2$ $(1)$

Cách không hay lắm.
Đặt $t=x+3,$ ta có:
$(1)$ $\Leftrightarrow$ $(t-1)^2+t^3+(t+1)^4=2$

$\Leftrightarrow$ $t^2-2t+1+t^3+t^4+4t^3+6t^2+4t+1=2$

$\Leftrightarrow$ $t^4+5t^3+7t^2+2t=0$

$\Leftrightarrow$ $t(t+2)(t^2+3t+1)=0$

$\Leftrightarrow$ $(x+3)(x+5)(x^2+9x+19)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x+3=0\\ x+5=0\\ x^2+9x+19=0 \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-3\\ x=-5\\ x=\frac{\sqrt{5}-9}{2}\\ x=-\frac{\sqrt{5}+9}{2} \end{bmatrix}$
Vậy ..........

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 21-01-2013 - 22:55

[Oral1020]

3c)
$\text{pt} \Longleftrightarrow (x+8)(2x+5)(2x^2+35x+120)$
$\Longleftrightarrow \begin{bmatrix}
x+8=0\\2x+5=0
\\2x^2+35x+120=0

\end{bmatrix}$
$\Longleftrightarrow \begin{bmatrix}
x=-8\\x=\dfrac{-5}{2}
\\x=-\dfrac{1}{4}(35+\sqrt{265}) \\ x=\dfrac{1}{4}(\sqrt{265}-35)

\end{bmatrix}$

[Tienanh tx]

1a)
$(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)$
b)$(x^2-5x-4)(x^5-5x+4)$
c)$(x-3)(x-2)(2x^2-9x+1945)$
d)$(2x-3y-1)(x-2y+5)$
e)$4abc$
f)$3(x-y)(y-z)(z-x)$

Bạn làm rõ ra nhé, ở để bài mình có ghi mà ??

[DarkBlood]

Bài 5: Cho $BEDF$ là hình thoi nội tiếp tam giác $ABC$ $(E\in AB;$ $D\in AC;$ $F\in BC).$ Biết $BC=a;$ $AB=c,$ tính $BE$ theo $a,$ $c.$

Còn 2 bài chưa ai làm mình sửa nốt luôn nha.

Dễ thấy $\bigtriangleup AED\sim \bigtriangleup DFC$
$\Rightarrow \frac{AD}{DE}=\frac{DC}{CF}$

$\Rightarrow \frac{AD}{DC}=\frac{DE}{CF}$ $(1)$

Xét $\bigtriangleup ABC,$ $ED//BC,$ ta có:

$\frac{AD}{DC}=\frac{AE}{BE}$ $(2)$

Từ $(1),$ $(2),$ ta có:
$\frac{DE}{CF}=\frac{AE}{BE}$

$\Leftrightarrow \frac{BE}{CF}=\frac{AE}{BE}$

$\Leftrightarrow BE^2=CF.AE$

$\Leftrightarrow BE^2=(BC-BF)(AB-BE)=(BC-BE)(AB-BE)$

$\Leftrightarrow BE^2=AB.BC-BE(AB+BC)+BE^2$

$\Leftrightarrow BE=\frac{AB.BC}{AB+BC}=\frac{ac}{a+c}$

Bài 6: Cho $A=\frac{2}{1}.\frac{4}{3}.\frac{6}{5}...\frac{200}{199}.$ Chứng minh rằng $14<A<20.$

Đầu tiên ta chứng minh $A>14.$
Nhận xét: Ta có bất đẳng thức $\frac{k+1}{k}>\frac{k+2}{k+1}$ $(k\in N*),$ thật vậy:
$\frac{k+1}{k}>\frac{k+2}{k+1}$

$\Leftrightarrow \frac{k+1}{k}-\frac{k+2}{k+1}>0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{k(k+1)}>0$ $($Luôn đúng vì $k\in N*)$

Do đó:
$A>\frac{3}{2}.\frac{5}{4}.\frac{7}{6}...\frac{201}{200}$

$\Rightarrow A^2>\left ( \frac{3}{2}.\frac{5}{4}.\frac{7}{6}...\frac{201}{200} \right )\left ( \frac{2}{1}.\frac{4}{3}.\frac{6}{5}...\frac{200}{199} \right )$

$\Rightarrow A^2>\frac{2}{1}.\frac{3}{2}.\frac{4}{3}.\frac{5}{4}.\frac{6}{5}...\frac{200}{199}.\frac{201}{200}=201$

$\Rightarrow A>\sqrt{201}>14$

Tương tự để chứng minh $A<20$ ta sử dụng bất đẳng thức $\frac{k+1}{k}<\frac{k}{k-1}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 22-01-2013 - 21:04

[DarkBlood]

$\mathfrak{Bài toán 1:}$ Phân tích đa thức thành nhân tử: (làm nhiều cách (nếu được), trình bày cụ thể, nêu luôn hướng giãi nhé)
$a,$ $x^{10} + x^5+1$
$b,$ $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-80$
$c,$ $ 2x^4-19x^3+2002x^2-9779x+11670$
$d,$ $ 2x^2-7xy+6y^2+9x-13y-5$
$e,$ $\sum a(a+b-c)^2+\sum (a+b-c)$
$f,$ $\sum (x-y) ^3$

1a)
$(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)$
b)$(x^2-5x-4)(x^5-5x+4)$
c)$(x-3)(x-2)(2x^2-9x+1945)$
d)$(2x-3y-1)(x-2y+5)$
e)$4abc$
f)$3(x-y)(y-z)(z-x)$

Mình làm rõ hơn nha Theo yêu cầu của bạn tienanh199bp
$a,$ $x^{10}+x^5+1$
$=x^{10}-x^7+x^7-x^4+x^5+x^4+x^3-x^3-x^2-x+x^2+x+1$
$=x^7(x-1)(x^2+x+1)+x^4(x-1)(x^2+x+1)+x^3(x^2+x+1)-x(x^2+x+1)+(x^2+x+1)$
$=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)$


$b,$ $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-80$
$=(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)-80$
Đặt $x^2-5x+5=t,$ ta có:
$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-80$
$=(t-1)(t+1)-80$
$=t^2-81$
$=(t+9)(t-9)$
$=(x^2-5x+14)(x^2-5x-4)$

$c,$ $ 2x^4-19x^3+2002x^2-9779x+11670$
$=2x^4-4x^3-15x^3+30x^2+1972x^2-3944x-5835x+11670$
$=2x^3(x-2)-15x^2(x-2)+1972x(x-2)-5835(x-2)$
$=(x-2)(2x^3-15x^2+1972x-5835$
$=(x-2)(2x^3-6x^2-9x^2+27x+1945x-5835)$
$=(x-2)(x-3)(2x^2-9x+1945)$

$d,$ $ 2x^2-7xy+6y^2+9x-13y-5$
$=(2x^2+10x-4xy)+(6y^2-3xy-15y)+(2y-x-5)$
$=2x(x-2y+5)-3y(x-2y+5)-(x-2y+5)$
$=(x-2y+5)(2x-3y-1)$

$e,$ $\sum a(a+b-c)^2+\sum (a+b-c)$
Hình như Thịnh làm sai rồi. http://www.wolframal...t=&equal=Submit

$f,$ $\sum (x-y) ^3$
Ta có hằng đẳng thức khá quen thuộc:
$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
Do đó khi $a+b+c=0$ thì $a^3+b^3+c^3=3abc$
Quay lại bài toán đặt $x-y=a,$ $y-z=b,$ $z-x=c,$ ta có:
$(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3$
$=a^3+b^3+c^3$
Nhận thấy: $a+b+c=x-y+y-z+z-x=0$
Nên $(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=3abc=3(x-y)(y-z)(x-z)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 22-01-2013 - 21:54

[Oral1020]

@Thong
Mình không sai đâu thông ơi,Tại đề sai nhé.Nếu đề đúng như vậy thì không thể phân tích đươc đúng là:
$a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+c(a+b-c)^2+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$
http://www.wolframal...)(b+c-a)(c+a-b)
---
Bài này mình làm rồi
Đặt $b+c-a=x$ $c+a-b=y$ $a+b-c=z$
Từ đây ta rút $a,b,c$ theo $x,y,z$ là làm thôi

[Oral1020]

Bài 6:
a) Vì tứ giác $ABCD$ là hình thang cân nên:
$\widehat{DAB}=\widehat{CBA}$
$\Longrightarrow \widehat{EAB}=\widehat{EBA}$
$\Longrightarrow \Delta{EAB}$ cân tại $E$,mà EM là đường trung tuyến
$\Longrightarrow EM \bot AB$
b)Gọi giao điểm của $EM$ với $DC$ là $N'$,ta có(theo Thalet):
$\frac{AM}{DN'}=\frac{EM}{MN'}=\frac{BM}{CN'}$
Do $AM=BM$
$\Longrightarrow DN'=CN'$
$\Longrightarrow N \equiv N'$
Vậy ....
c)Kẻ $AH \bot DC$
Ta có:
$18=S_{ABCD}=\dfrac{(AB+DC)AH}{2}=\dfrac{(4+8)AH}{2}$
$\Longrightarrow AH=3$
Từ $B$ kẻ $BK \bot DC$
Ta dể dàng tính được $BH=CK=2$
$\Longrightarrow DC=6$
Theo Pytago,ta cũng tính được $AC=3\sqrt{5}$
d)Dễ thấy $\Delta{EAM}=\Delta{ADH}$
$\Longrightarrow S_{EAM}=S_{ADH}=\dfrac{3.2}{2}=3$

[DarkBlood]

Bài luyện tập số 8

Spoiler

Các bạn làm rõ ra hoặc viết hướng giải nhé Chú ý phải làm tới đáp án cuối cùng và các bạn giải bài nhớ trích dẫn link nhé

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
$a)$ $(3x-1)^{m+1}-(3x-1)^m$
$b)$ $(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3$
$c)$ $(x^2+y^2)^3+(z^2-x^2)^3-(y^2+z^2)^3$
$d)$ $(x+1)^4+(x^2+x+1)^2$
$e)$ $2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-a^4-b^4-c^4$
$f)$ $a^3(b^2-c^2)+b^3(c^2-a^2)+c^3(a^2-b^2)$
$h)$ $a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2-a^3-b^3-c^3+4abc$

Bài 2:
$1)$ Chứng minh rằng $(x^2+x-1)^{10}+(x^2-x+1)^{10}-2$ chia hết cho $x-1.$
$2)$ Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhên nào để giá trị của biểu thức $2n^3-3n^2+n+3$ chia hết cho giá trị của biểu thức $n^2-n.$
$3)$ Khi chia đơn thức $x^8$ cho $x+\frac{1}{2},$ ta được thương là $B(x)$ và dư là số $r_{1}$. Khi chia $B(x)$ cho $x+\frac{1}{2},$ ta được thương là $C(x)$ và dư là số $r_{2}.$ Tính $r_{2}.$

Bài 3:
$1)$ Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^2+y^2=25.$
$2)$ Chứng minh rằng số $A=2^{2^{2005}}+5$ không là số nguyên tố.

Bài 4:
$1)$ Cho $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1$.
Chứng minh rằng $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0.$

$2)$ Cho $\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0.$
Chứng minh rằng $\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=0.$

$3)$ Cho $\frac{2y+2z-x}{a}=\frac{2z+2x-y}{b}=\frac{2x+2y-z}{c}$
trong đó $a,$ $b,$ $c,$ $2b+2c-a,$ $2c+2a-b,$ $2a+2b-c$ khác $0.$
Chứng minh rằng $\frac{x}{2b+2c-a}=\frac{y}{2c+2a-b}=\frac{z}{2a+2b-c}.$

$4)$ Cho $\frac{x}{a+2b+c}=\frac{y}{2a+b-c}=\frac{z}{4a-4b+c}.$
Chứng minh rằng nếu $abc$ $\neq $ $0$ và các mẫu thức khác $0$ thì:
$\frac{a}{x+2y+z}=\frac{b}{2x+y-z}=\frac{c}{4x-4y+z}.$

Bài 5: Giải các phương trình sau:
$a)$ $(4-x)^5+(x-2)^5=32$
$b)$ $(x-1)^5+(x+3)^5=242(x+1)$
$c)$ $x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0$
$d)$ $\frac{x+2}{x^2+2x+4}-\frac{x-2}{x^2-2x+4}=\frac{6}{x(x^4+4x^2+16)}$
$e)$ $\frac{1}{(x+a)^2-1}+\frac{1}{(x+1)^2-a^2}=\frac{1}{x^2-(a+1)^2}+\frac{1}{x^2-(a-1)^2}$ $(a$ là hằng$)$

Bài 6: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ có $AB=AC=a.$
$a)$ Một hình chữ nhật $APMN$ thay đổi có đỉnh $P$ trên cạnh $AB,$ đỉnh $N$ trên cạnh $AC$ và có chu vi luôn bằng $2a.$ Chứng minh rằng $M$ chuyển động trên một đoạn thẳng cố định.
$b)$ Chứng minh rằng khi hình chữ nhật $APMN$ thay đổi thì các đường thẳng vuông góc kẻ từ $M$ xuống đường chéo $PN$ luôn luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 7: Cho tam giác $ABC,$ $E$ trung điểm $AC.$ Lấy $D$ trên $BC$ sao cho $BD=\frac{1}{3}BC,$ lấy điểm $G$ trên cạnh $AE$ sao cho $AG=\frac{1}{3}AE.$ Đoạn thẳng $AD$ cắt $BG,$ $BE$ theo thứ tự ở $M,$ $N.$ Tính diện tích tứ giác $MNEG$ theo diện tích tam giác $ABC.$

Bài 8: Cho hình bình hành $ABCD.$ Qua $A$ kẻ đường thẳng tùy ý cắt $BD,$ $BC,$ $CD$ lần lượt tại $E,$ $K,$ $G.$ Chứng minh:
$a)$ $AE^2=EK.EG$
$b)$ $\frac{1}{AE}=\frac{1}{AK}+\frac{1}{AG}$
$c)$ Khi đường thẳng đi qua $A$ thay đổi thì tích $BK.DG$ có giá trị không đổi.

Bài 9: Chứng minh rằng nếu $a>0,$ $b>0,$ $c>0$ thì
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$$
______________
P/s: Đề khá dài, các bạn cứ thoải mái mà chém. Những bài nào các bạn hoàn thành mình sẽ chuyển thành màu đỏ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 26-01-2013 - 22:11

[Oral1020]

Bài 9:

File gửi kèm

•  45 cach chung minh BDT Nesbitt.pdf   202.37K   1269 Số lần tải

[Oral1020]

1)
a)$3x(3x-2)(3x-1)^m$
b)$3(x+y)(y+z)(x+z)$
d)$(x^2+2x+2)(2x^2+2x+1)$
e)$-(a-b-c)(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)$
f)$(a-b)(a-c)(b-c)(ab+bc+ac)$
h)$-(a-b-c)(a+b-c)(a-b+c)$
3)
1)
Ta có $25=9^2+4^2=0^2+5^2$
Từ đây dễ thấy $(x;y) \in (4;9)(9;4)(-4;9)(-4;-9)...(0;5)(0;-5)....$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 24-01-2013 - 22:25

[Tienanh tx]

Bài 5: Giải các phương trình sau:
$a)$ $(4-x)^5+(x-2)^5=32$
$b)$ $(x-1)^5+(x+3)^5=242(x+1)$

______________
P/s: Đề khá dài, các bạn cứ thoải mái mà chém. Những bài nào các bạn hoàn thành mình sẽ chuyển thành màu đỏ

a, Đặt : $t=(x+1)$ áp dụng Hằng đẵng thức $(a+b)^5$
b, Đặt : Tương tự

[Oral1020]

Bài 4)b)từ giả thiết,ta có:
$(\sum \dfrac{a}{b-c})(\sum \dfrac{1}{b-c})=0$
biển đổi,ta được:
$(\sum \dfrac{a}{(b-c)^2})(\sum \dfrac{a+b}{(b-c)(c-a)})=0$
$\Longrightarrow ...$
a)Nhân cả hai vế với $(a+b+c)$ và biến đổi,ta co $\text{đpcm}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 24-01-2013 - 22:30

[Tienanh tx]

Bài 2b, Đạt phép chia ta được dư là $3 = const$ $\Longrightarrow$ $n \in \varnothing $

[Oral1020]

2)a:
Dễ thấy $x=1$ là nghiệm của đa thức nên $\Longrightarrow ...$
3b)Vì $2005$ chia cho $4$ dư $1$ nên có dạng $4a+1$
Ta có $2^{4a+1}=16^a.2=....2$
Vậy $2^{2005}$ có tận cùng là $2$ nên co dạng $10k+2$,ta có:
$2^{10k+2}+5=1204^k.4+5$
Vì $1024$ chia $3$ dư $1$ nên có dạng $3t+1$,vậy ta có:
$1024^k.4+5=3A+4+5=3(A+3) \vdots 3$
$\Longrightarrow ..$

[Oral1020]

Bài 8:a)
Theo định lí Thalet,ta có:
$\dfrac{EK}{AE}=\dfrac{EB}{DE}$
$\Longleftrightarrow EK=\dfrac{AE.EB}{DE}$
Lại theo Thalet,ta có:
$\dfrac{GE}{AE}=\dfrac{DE}{EB}$
$\Longleftrightarrow GE=\dfrac{AE.DE}{EB}$
Nhân vế theo vế,ta có đpcm
b)Theo định lí Thalet,ta có:
$\oplus \dfrac{AE}{AK}=\dfrac{DE}{DB}$
$\oplus \dfrac{AE}{AG}=\dfrac{EB}{DB}$
$\Longrightarrow \dfrac{AE}{AK}+\dfrac{AE}{AG}=1$
$\Longleftrightarrow \dfrac{1}{AK}+\dfrac{1}{AG}=\dfrac{1}{AE}$
c)Theo định lí Thalet,ta có:
$\oplus \dfrac{BK}{AD}=\dfrac{BE}{DE} \Longrightarrow BK=\dfrac{AD.BE}{DE}$
$\oplus \dfrac{DG}{AB}=\dfrac{DE}{EB} \Longrightarrow DG=\dfrac{AB.ED}{EB}$
$\Longrightarrow BK.DG=AD.AB=const$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 24-01-2013 - 23:01

[Tienanh tx]

Bài luyện tập số 8

Spoiler

Các bạn làm rõ ra hoặc viết hướng giải nhé Chú ý phải làm tới đáp án cuối cùng và các bạn giải bài nhớ trích dẫn link nhé

Bài 5: Giải các phương trình sau:
$d)$ $\frac{x+2}{x^2+2x+4}-\frac{x-2}{x^2-2x+4}=\frac{6}{x(x^4+4x^2+16)}$

______________
P/s: Đề khá dài, các bạn cứ thoải mái mà chém. Những bài nào các bạn hoàn thành mình sẽ chuyển thành màu đỏ

Nhận thấy $4x^4+4x^2+16 = (x^2-2x+4)(x^2+2x+4)$
Quy đồng $2$ vế và khữ mẫu, ta được: $(x^3+8)x -(x^3-8)x = 6$
$\Longleftrightarrow$ $...$
$\Longleftrightarrow$ $16x=6$
$\Longrightarrow$ $x=\frac{3}{8}$

[Nguyen Duc Thuan]

[font='times new roman', ', times, serif} ']Bài 6: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ có $AB=AC=a.$[/font]
[font='times new roman', ', times, serif} ']$a)$ Một hình chữ nhật $APMN$ thay đổi có đỉnh $P$ trên cạnh $AB,$ đỉnh $N$ trên cạnh $AC$ và có chu vi luôn bằng $2a.$ Chứng minh rằng $M$ chuyển động trên một đoạn thẳng cố định.[/font]
[font='times new roman', ', times, serif} ']$b)$ Chứng minh rằng khi hình chữ nhật $APMN$ thay đổi thì các đường thẳng vuông góc kẻ từ $M$ xuống đường chéo $PN$ luôn luôn đi qua một điểm cố định.[/font]

Bài 6a) Do PAPM=2a suy ra AP+AN=a
Từ đó AN=PM=BP
Suy ra PBM vuông cân tại P chứng tỏ M thuộc [BC] const (QED)
b) Ý tưởng : Điểm cố định sẽ là giao 2 đ/t vuông góc vs AB & AC tại B & C (Đang suy nghĩ)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Thuan: 25-01-2013 - 22:58

[Nguyen Duc Thuan]

P thay đổi cơ mà

Như vậy ko ảnh hưởng gì. M chạy trên đoạn BC khi P chạy trên AB

[math1999]

mình gần thi rùi bạn post nhanh giùm nha, mình muốn so sánh kết quả sớm