Chủ đề này có 4 trả lời

[Nguyen Hung Phong]

$Cho\,{x_1};\,{x_2};\,{x_3};\,{x_4};\,{x_5} > 0.$


Tìm Min A.
$A = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} + {x_5}} \right)}^{15}}}}{{{x_1}.x_2^2.x_3^3.x_4^4.x_5^5}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 02-12-2012 - 23:55

[zipienie]

Bài toán tổng quát như sau:
Cho $x_{1},x_{2},..,x_{n}$ là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$\dfrac{(x_{1}+x_{2}+…+x_{n})^{1+2+3+..+n}}{x_{1}x_{2}^2…x_{n}^n}$$
Với $n=2$ ta có
$xy^2=\dfrac{1}{16}(4x)(2y)(2y)\leq\dfrac{1}{16} \left (\dfrac{4x+2y+2y}{3} \right )^3=\dfrac{4(x+y)^3}{27}$
Vậy $\dfrac{(x+y)^3}{xy^2} \geq \dfrac{27}{4}$
Từ đó thì giá trị nhỏ nhất là $\dfrac{27}{4}$
----
Từi ý tưởng này bạn có thể tự làm bài toán của bạn

[zipienie]

Xin phép tổng quát hóa và giải bài toán như sau:
Cho $x_{1},x_{2},..,x_{n}$ là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$\dfrac{(x_{1}+x_{2}+…+x_{n})^{1+2+3+..+n}}{x_{1}x_{2}^2…x_{n}^n}$$
Giải: Ý tưởng là ta sẽ triệt tiêu các số mũ ở mẫu. Bây giờ ta sẽ đi tìm các hệ số của $x_{1},x_{2},…,x_{n}$

a) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
$(\alpha_{1}\alpha_{2}…\alpha_{n})x_{1}(\alpha_{2}x_{2})^2… (\alpha_{n} x_{n})^n \leq \left (\dfrac{(\alpha_{1}\alpha_{2}…\alpha_{n})x_{1}+2\alpha_{2}x_{2}+…+ n\alpha_{n}x_{n}}{\dfrac{n(n+1)}{2}} \right )^{\dfrac{n(n+1)}{2}}$

Đẳng thức xảy ra khi $(\alpha_{1}\alpha_{2}…\alpha_{n})=2\alpha_{2}=…= n\alpha_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}$
Vậy $(\alpha_{1}\alpha_{2}…\alpha_{n})=\dfrac{n(n+1)}{2}$
$ \alpha_{2}=\dfrac{n(n+1)}{4}$
……
$ \alpha_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2n}$

Vậy ta có
$$ x_{1}x_{2}^2…x_{n}^n$$
$$=\dfrac{1}{\dfrac{n(n+1)}{2}. (\dfrac{n(n+1)}{2})^2…(\dfrac{n(n+1)}{2n})^n }(\dfrac{n(n+1)}{2})x_{1}(\dfrac{n(n+1)}{2}x_{2})^2…(\dfrac{n(n+1)}{2n}x_{n})^n$$
Mặt kháctừ a) thì $\dfrac{n(n+1)}{2}x_{1}(\dfrac{n(n+1)}{2}x_{2})^2…(\dfrac{n(n+1)}{2n}x_{n})^n\leq 1$

Vậy giá trị nhỏ nhất là $\dfrac{1}{\left (\dfrac{n(n+1)}{2} \right )\left (\dfrac{n(n+1)}{4} \right )^2...\left (\dfrac{n(n+1)}{2n} \right )^n}$

Với bài toán đang xét thay $n=5$ vào kết quả tổng quát ta tìm được giá trị nhỏ nhất là
$\dfrac{1}{120^{120}.2^2.3^3.4^4.5^5}$

[donghaidhtt]

...
Đẳng thức xảy ra khi $(\alpha_{1}\alpha_{2}…\alpha_{n})=2\alpha_{2}=…= n\alpha_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}$
...

Tại sao lại có cái này vậy bạn? Bạn có thể giải thích rõ hơn giúp mình không? Cảm ơn bạn!

[zipienie]

Mục đích là ''triệt tiêu các số mũ ở mẫu'' và bạn có thể xem thêm #2 của mình ở trên thì sẽ hiểu thêm ý tưởng này