Chủ đề này có 5 trả lời

[Nguyen Hung Phong]

Giải phương trình :
$\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + ...... + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } } } } = x$
( có n dấu căn)

[haiphong08]

Giải phương trình :
$\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + ...... + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } } } } = x$
( có n dấu căn)

TXĐ $x\geq 0$
Đặt $3x=x+2x=t_{1}^{2}$
$x+2t_{1}=t_{2}^{2}$ (1)
$x+2t_{2}=t_{3}^{2}$ (2)
........
$x+2t_{n-1}=t_{n}^{2}$ (n)
Như vậy $t_{1},t_{2}....t_{n}$ là các số dương.
Phương trình: $3x=t_{n}$ (*)
- Xét $x< t_{1}$ từ (1) và (2)$\Rightarrow t_{1}< t_{2}$. Tương tự như thế ta có $x< t_{1}< t_{2}< ....< t_{n}$. Pt (*) Vô nghiệm.
- Tương tự $x> t_{1}$. Phương trình (*) Vô nghiệm
- Với $x=t_{1}\Leftrightarrow \sqrt{3x}=x$. PT có nghiệm x=0; x=3.

[Primary]

Giải phương trình :
$\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + ...... + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } } } } = x$
( có n dấu căn)

Phương trình đã cho tương đương với
$x^{2}=x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+...+2\sqrt{x+2\sqrt{3x}}}}\Leftrightarrow x^{2}-x-2x=0$ ( do có n dấu căn)
$\Leftrightarrow x^{2}-3x=0\Leftrightarrow x=0\vee x=3$
Thử lại cả hai nghiệm này đều thỏa phương trình

[Nguyen Hung Phong]

Phương trình đã cho tương đương với
$x^{2}=x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+...+2\sqrt{x+2\sqrt{3x}}}}\Leftrightarrow x^{2}-x-2x=0$ ( do có n dấu căn)
$\Leftrightarrow x^{2}-3x=0\Leftrightarrow x=0\vee x=3$
Thử lại cả hai nghiệm này đều thỏa phương trình

Mình tưởng phải vô số căn thì mới làm được như bạn !

[snowwhite]

Mình không nói cách làm của các bạn là sai nhưng mình không tán thành với các cách làm ấy. Làm theo mấy bạn thì ý nghĩa bài toán bị mất đi và không còn gì gọi là hấp dẫn nữa. Các bạn nên chú ý rằng n, tức n dấu căn, nhưng điều đáng nói là n phải bằng bao nhiêu để có kết quả như các bạn đã làm. Hầu như không ai quan tâm đến n này. Có lẽ các bạn đều cho rằng $\forall n\in N$ ta đều có kết quả như trên, nếu thật vậy thì hiển nhiên nó phải được c/m bằng quy nạp tức là :
Với n = 0 ta có : x = x $\Rightarrow $ pt có vô số nghiệm trái với gt x = 0 hoặc x = 3
Với n = 1 ta có $\sqrt{x}=x$ $\Leftrightarrow $ pt có nghiệm là x =0 hoặc x = 1 trái với gt x = 0 hoặc x = 3
Với n =2 lúc này tìm được nghiệm x cũng khó khăn hơn
Với n >2 thì viẹc giải pt càng trở nên khó hơn gấp bội
Các bạn tìm ra kết quả đó là nhờ n = n, các bạn thấy đấy chỉ cần cho n = một số nào đó thôi cũng đủ để ta mất ăn, mất ngủ.
$\ast $Quy nạp không c/m được thì lấy căn cứ đâu mà giải như vậy !
Ta có $n \to +\infty $thì $x\to 3$ hoặc $x\to 0$
Từ đây ta nên sử dụng giới hạn để giải thì đúng hơn
Theo đề bài x =$\sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+...+2\sqrt{x+2\sqrt{3x}}}}}$ (n dấu căn)
Nên ta sẽ có dãy số hữu tỉ biểu thị qua n dấu căn của VP như sau $r_0$,$r_1$,...,$r_n$,$...$mà $\lim_{n \to+ \infty }r_n =x$
Lúc này thay vì tìm x ta tìm $\lim_{n \to+ \infty }r_n$
Giờ thì mới dùng cách của mấy bạn để tìm $\lim_{n \to+ \infty }r_n$ và ta tim được $\lim_{n \to+ \infty }r_n=0$hoặc $\lim_{n \to+ \infty }r_n=3$
Từ đó suy ra x = 0 hoặc x =3

[snowwhite]

Mình không nói cách làm của các bạn là sai nhưng mình không tán thành với các cách làm ấy. Làm theo mấy bạn thì ý nghĩa bài toán bị mất đi và không còn gì gọi là hấp dẫn nữa. Các bạn nên chú ý rằng n, tức n dấu căn, nhưng điều đáng nói là n phải bằng bao nhiêu để có kết quả như các bạn đã làm. Hầu như không ai quan tâm đến n này. Có lẽ các bạn đều cho rằng $\forall n\in N$ ta đều có kết quả như trên, nếu thật vậy thì hiển nhiên nó phải được c/m bằng quy nạp tức là :
Với n = 0 ta có : x = x $\Rightarrow $ pt có vô số nghiệm trái với gt x = 0 hoặc x = 3
Với n = 1 ta có $\sqrt{x}=x$ $\Leftrightarrow $ pt có nghiệm là x =0 hoặc x = 1 trái với gt x = 0 hoặc x = 3
Với n =2 lúc này tìm được nghiệm x cũng khó khăn hơn
Với n >2 thì viẹc giải pt càng trở nên khó hơn gấp bội
Các bạn tìm ra kết quả đó là nhờ n = n, các bạn thấy đấy chỉ cần cho n = một số nào đó thôi cũng đủ để ta mất ăn, mất ngủ.
$\ast $Quy nạp không c/m được thì lấy căn cứ đâu mà giải như vậy !
Ta có $n \to +\infty $thì $x\to 3$ hoặc $x\to 0$
Từ đây ta nên sử dụng giới hạn để giải thì đúng hơn
Theo đề bài x =$\sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+...+2\sqrt{x+2\sqrt{3x}}}}}$ (n dấu căn)
Nên ta sẽ có dãy số hữu tỉ biểu thị qua n dấu căn của VP như sau $r_0$,$r_1$,...,$r_n$,$...$mà $\lim_{n \to+ \infty }r_n =x$
Lúc này thay vì tìm x ta tìm $\lim_{n \to+ \infty }r_n$
Giờ thì mới dùng cách của mấy bạn để tìm $\lim_{n \to+ \infty }r_n$ và ta tim được $\lim_{n \to+ \infty }r_n=0$hoặc $\lim_{n \to+ \infty }r_n=3$
Từ đó suy ra x = 0 hoặc x =3

Cái hay chính là n dấu căn này