Chủ đề này có 1 trả lời

[thanhdotk14]

Cho các số nguyên dương $n$. Tính số các số nguyên dương không lớn hơn $n.(n+1).(n+2)$ mà không chia hết cho các số $n$,$n+1$,$n+2$

[nguyenta98]

Cho các số nguyên dương $n$. Tính số các số nguyên dương không lớn hơn $n.(n+1).(n+2)$ mà không chia hết cho các số $n$,$n+1$,$n+2$

Giải như sau:
TH1: $n$ lẻ thì $n,n+1,n+2$ nguyên tố cùng nhau đôi một
Gọi $A$ là tập số thỏa đề, $A_1$ là số số $\vdots n$, $A_2$ là số số $\vdots n+1$, $A_3$ là số số $\vdots n+2$
Suy ra theo định lý inclusion-exclusion ta có
$|A|=n(n+1)(n+2)-|A_1\cup A_2\cup A_3|=n(n+1)(n+2)-\left(|A_1|+|A_2|+|A_3|-|A_1\cap A_2|-|A_2\cap A_3|-|A_3\cap A_1|+|A_1\cap A_2\cap A_3|\right)$
Nx: $|A_1|=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{n}=(n+1)(n+2)$, $|A_2|=n(n+2)$, $|A_3|=n(n+1)$, $|A_1\cap A_2|=\{n(n+1)k| k\le n+2\}=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{n(n+1)}=n+2$, $|A_2\cap A_3|=n$, $|A_3\cap A_1|=n+1$, $|A_1\cap A_2\cap A_3|=\{n(n+1)(n+2)\}=1$
Do đó $|A|=n(n+1)(n+2)-(n(n+1)+(n+1)(n+2)+(n+2)n-n-(n+1)-(n+2)+1)=(n-1)n(n+1)$
TH2: $n$ chẵn, $gcd(n,n+1)=gcd(n+1,n+2)=1$ và $gcd(n,n+2)=2$
Tương tự trên
$|A|=n(n+1)(n+2)-|A_1\cup A_2\cup A_3|=n(n+1)(n+2)-\left(|A_1|+|A_2|+|A_3|-|A_1\cap A_2|-|A_2\cap A_3|-|A_3\cap A_1|+|A_1\cap A_2\cap A_3|\right)$
Có điều $|A_1|=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{n}=(n+1)(n+2)$, $|A_2|=n(n+2)$, $|A_3|=n(n+1)$, $|A_1\cap A_2|=\{n(n+1)k| k\le n+2\}=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{n(n+1)}=n+2$, $|A_2\cap A_3|=n$, $|A_3\cap A_1|=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{\frac{n(n+2)}{2}}=2(n+1)$, $|A_1\cap A_2\cap A_3|=\{\frac{n(n+1)(n+2)}{2}k|k\le 2\}=2$
Do đó $|A|=n(n+1)(n+2)-(n(n+1)+(n+1)(n+2)+(n+2)n-n-(n+2)-2(n+1)+2)=n^3$
Vậy $\boxed{|A|=(n-1)n(n+1),n^3}$ với $|A|$ là số số thỏa đề