Chủ đề này có 1 trả lời

[phamvanha92]

Cho các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn $b^{2} +1 = ac$ và $c^{2} +1 = bd$.
CMR: a = 3b - c và d= 3c - b

[nguyenta98]

Cho các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn $b^{2} +1 = ac$ và $c^{2} +1 = bd$.
CMR: a = 3b - c và d= 3c - b

Đúng là bài này cực dễ
Giải như sau:
$$b^2-c^2=ac-bd \Rightarrow b^2+bd=c^2+ac \Rightarrow b(b+d)=c(a+c)$$
Ta có $b \not \vdots 3$ vì nếu $b \vdots 3 \Rightarrow bd \vdots 3 \Rightarrow c^2 \equiv 2 \pmod{3}$ vô lý
Suy ra $b \not \vdots 3 \Rightarrow b^2+1 \equiv 2 \pmod{3} \Rightarrow ac \equiv 2 \pmod{3} \Rightarrow a+c \vdots 3$
Cm tương tự $b+d \vdots 3$
Từ đẳng thức $b(b+d)=c(c+a)$ mà $gcd(b,c)=1$ (do $b^2+1=ac$)
Do đó $c+a \vdots b \Rightarrow c+a=bk$ nên $b+d=ck$
Mà $a+c,b+d \vdots 3 \Rightarrow k=3r$ (do $b,c \not \vdots 3$)
Nên $c+a=3br,b+d=3cr$
Ta cần chứng minh $r=1$
Thế vào phương trình bằng cách $a=3br-c$ khi ấy $b^2+1=ac=(3br-c)c \Rightarrow b^2+c^2+1=(3r)bc$
$$**********$$
Đặt $3r=t$ suy ra $b^2+c^2+1=tbc$
Suy ra $b^2-b(tc)+(c^2+1)$
Giả sử $b\geq c$
Và giả sử $b_0,c_0$ là nghiệm bé nhất của phương trình trên (tức $b_0+c_0$ nhỏ nhất)
Xét phương trình $b^2-b(t.c_0)+(c_0^2+1)=0$
Rõ ràng $b_0$ là một nghiệm của phương trình trên, theo định nghĩa pt bậc 2 thì nó còn nghiệm $b_1$ nhưng do $b_0+c_0$ nhỏ nhất lên $b_0+c_0\le b_1+c_0 \Rightarrow b_0\le b_1$
Như vây theo Viete ta có $b_0+b_1=tc_0$ nên $b_1$ cũng là số nguyên mặt khác cũng theo Viete ta có $b_0.b_1=c_0^2+1$ dương mà $b_0$ dương nên $b_1$ dương
Như vậy $b_1=\dfrac{c_0^2+1}{b_0}\geq b_0$
Nếu $c_0=b_0 \Rightarrow c_0^2+1 \vdots b_0 \Rightarrow b_0^2+1 \vdots b_0 \Rightarrow b_0=1 \Rightarrow c_0=1 \Rightarrow t=1$ suy ra $b^2+c^2+1=3bc$
Nếu $c_0<b_0$ nên $b_0\geq c_0+1$
Mặt khác $\dfrac{c_0^2+1}{b_0}\geq b_0 \Rightarrow c_0^2+1\geq b_0^2\geq (c_0+1)^2 \Rightarrow c_0^2+1\geq c_0^2+2c_0+1 \Rightarrow False!$
Như vậy $t=3 \Rightarrow b^2+c^2+1=3bc \Rightarrow 3r=3 \Rightarrow r=1$
Do đó $a+c=3b,b+d=3c$ nên ta có $đpcm$