Chủ đề này có 1 trả lời

[thanhdotk14]

Chứng minh rằng : nếu số $1+2^n+4^n$ là số nguyên tố (với $n\epsilon{N}$) thì $n=3^k$($k\epsilon {Z^+}$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 04-12-2012 - 20:00

[nguyenta98]

Chứng minh rằng : nếu số $1+2^n+4^n$ là số nguyên tố (với $n\epsilon{N}$) thì $n=3^k$($k\epsilon {Z^+}$)

Bổ đề: $x^{3k+2}+x^{3t+1}+1 \vdots x^2+x+1$
Chứng minh:
TH1: $k\geq t$ khi ấy $x^{3k+2}+x^{3t+1}+1=x^{3k+2}-x^{3t+2}+x^{3t+2}+x^{3t+1}+x^{3t}+x^{3t}-1$
Ta thấy $x^{3k+2}-x^{3t+2}=x^{3t+2}(x^{3(k-t)}-1) \vdots x^3-1 \vdots x^2+x+1$ và $+x^{3t+2}+x^{3t+1}+x^{3t}=x^{3t}(x^2+x+1)$ và $x^{3t}-1 \vdots x^3-1 \vdots x^2+x+1$ nên có $đpcm$
TH2: $k<t$ nên $k\le t-1$ nên $3k+2\le 3(t-1)+2<3t+1$ làm tương tự trên cũng có $đpcm$
$$**********$$
Nếu $n\neq 3^k$ suy ra $n=3^k.t$ với $gcd(t,3)=1$ và $t>1$
TH1: $t \equiv 2 \pmod{3}$ suy ra $1+(2^{3^k})^t+(2^{3^k})^{2t}$ mà $t \equiv 2 \pmod{3}$ nên $2t \equiv 1 \pmod{3}$
Áp dụng bổ đề $1+(2^{3^k})^t+(2^{3^k})^{2t} \vdots 1+2^{3k}+(2^{3k})^2$ nên là hợp số, mâu thuẫn
TH2: $t \equiv 1 \pmod{3}$ tương tự $2t \equiv 2 \pmod{3}$ áp dụng bổ đề ta cũng thu được điều trên nên mâu thuẫn
Do đó giả thiết phản chứng là sai nên $n=3^k$ đây là $đpcm$