Chủ đề này có 1 trả lời

[nvhmath]

Chứng minh rằng với $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca>0$ thì
$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\geq \frac{ab}{b^2+bc+c^2}+\frac{bc}{c^2+ca+a^2}+\frac{ca}{a^2+ab+b^2}$

[Joker9999]

Chứng minh rằng với $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca>0$ thì
$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\geq \frac{ab}{b^2+bc+c^2}+\frac{bc}{c^2+ca+a^2}+\frac{ca}{a^2+ab+b^2}$

Mấy bài kiểu này khá là quen thuộc rồi mà bạn
Giải như sau:
$\frac{a^2}{ab+ac+bc}-\frac{ab}{b^2+bc+c^2}=\frac{ac(ac-b^2)}{(b^2+bc+c^2)(ab+ac+bc)}$
Tương tự ta có BDT đã cho tương đương với:
$\frac{ac(ac-b^2)}{(b^2+bc+c^2)}+\frac{ab(ab-c^2)}{c^2+ac+a^2}+\frac{bc(bc-a^2)}{a^2+ab+b^2}\geq 0$
Mặt khác:
$\frac{ca(ca-b^2)}{b^2+bc+c^2}=\frac{c^2a(a+b+c)}{b^2+bc+c^2}-ac$ nên BDT trên tương đương:
$\sum \frac{c^2a}{b^2+bc+c^2}\geq \frac{ab+ac+bc}{a+b+c}$
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz ta có:
$\sum \frac{c^2a}{b^2+bc+c^2}\geq \frac{(ac+bc+ab)^2}{\sum a(b^2+bc+c^2)}=\frac{ab+ac+bc}{a+b+c}$
Vậy ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$