Chủ đề này có 1 trả lời

[thanhdotk14]

Cho hai số nguyên dương $m$,$n$ sao cho : $n+2\vdots m$ . Tính số các bộ ba số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn điều kiện tổng $x+y+z \vdots m$ , trong đó mỗi số $x,y,z$ đều không lớn hơn $n$

[thanhdotk14]

Cho hai số nguyên dương $m$,$n$ sao cho : $n+2\vdots m$ . Tính số các bộ ba số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn điều kiện tổng $x+y+z \vdots m$ , trong đó mỗi số $x,y,z$ đều không lớn hơn $n$

Đặt $km=n+2 (k\in N^*)$
Xét các tập hợp :
$D={{1,2,...,km}},E={{km-1,km},A={(x,y,z)/x,y,z\in D\E,x+y+z\vdots m}},B={{(x,y,z)/x,y,z\in D,x+y+z\vdots m}},C={{(x,y,z)/x,y,z\in D,hoặc x\in E,hoặc y\in E,hoặc z\in E và x+y+z\vdots m}}$
Rõ ràng ta cần tính $|A|$
Ta có : $|A|=|B|-|C|$
$Tính|B|$
Có $km$ cách chọn $x\in D$.Với mỗi cách chọn $x$ như thế , ta có $km$ cách chọn $y\in D$ . Với mỗi cách chọn $x,y$ như thế , ta có $k$ cách chọn $z\in D$ thỏa : $x+y+z\vdots m$ . Vậy $|B|=k^3.m^2$
$Tính |C|$
Đặt $X={(x,y,z),x\in E;y,z\in D,x+y+z\vdots m}$
$Y={(x,y,z),y\in E;x,z\in D ,x+y+z\vdots m}$
$Z={(x,y,z),z\in E;x,y\in D,x+y+z\vdots m}$
Ta có : $C=X\bigcup Y\bigcup Z$
Do đó:
$|C|=|X|+|Y|+|Z|-|X\bigcap Y|-|Y\bigcap Z|-|Z\bigcap X|+|X\bigcap Y\bigcap Z|$

Bằng cách tính tương tự , ta có:
$|X|=|Y|=|Z|=2k^2.m$
$|X\bigcap Y|=|Y\bigcap Z|=|Z\bigcap X|=4k$
$|X\bigcap Y\bigcap Z|=h(m)$
Trong đó : $h(m)=\left\{\begin{matrix}
2^{4-m}\Leftrightarrow m=1,2,3 & & \\
1\Leftrightarrow m\geq 4 & &
\end{matrix}\right.$
$\rightarrow |C|=6k^2.m-12k+h(m)$
Vậy ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 10-12-2012 - 03:24