Chủ đề này có 2 trả lời

[Ispectorgadget]

Cho dãy số:$(x_n)\;\begin{cases}x_1=\frac{1}{2} \\ x_n=\dfrac{\sqrt{x_{n-1}^2 + 4x_{n-1}} + x_{n-1}}{2},\forall n\ge2 \end{cases}$.
Chứng minh rằng dãy $(y_n)$ với $y_n=\sum{\frac{1}{x_i^2}}$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.

[perfectstrong]

Lời giải:
\[
\begin{array}{rcl}
gt &\Leftrightarrow& x_n = \frac{{\sqrt {x_{n - 1}^2 + 4x_{n - 1} } + x_{n - 1} }}{2} \\
&\Leftrightarrow& 2x_n - x_{n - 1} = \sqrt {x_{n - 1}^2 + 4x_{n - 1} } > 0 \\
&\Leftrightarrow& 4x_n^2 - 4x_n x_{n - 1} + x_{n - 1}^2 = x_{n - 1}^2 + 4x_{n - 1} \\
&\Leftrightarrow& x_n^2 = x_{n - 1} + x_n x_{n - 1} \\
&\Leftrightarrow& x_{n - 1} = \frac{{x_n^2 }}{{x_n + 1}} \\
&\Leftrightarrow& \frac{1}{{x_{n - 1} }} = \frac{{x_n + 1}}{{x_n^2 }} = \frac{1}{{x_n }} + \frac{1}{{x_n^2 }} \\
&\Leftrightarrow& \frac{1}{{x_n^2 }} = \frac{1}{{x_{n - 1} }} - \frac{1}{{x_n }} \\
\end{array}
\]
Do đó, ta có công thức của $y_n$:
\[
y_n = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{x_i^2 }}} = \frac{1}{{x_1^2 }} + \sum\limits_{n = 2}^n {\left( {\frac{1}{{x_{n - 1} }} - \frac{1}{{x_n }}} \right)} = \frac{1}{{x_1^2 }} + \frac{1}{{x_1 }} - \frac{1}{{x_n }} = 6 - \frac{1}{{x_n }}
\]
Mặt khác, dễ thấy $(x_n)$ tăng. Nếu tồn tại $a=\lim x_n$ thì trong gt, chuyển qua giới hạn
\[
a = \frac{{\sqrt {a^2 + 4a} + a}}{2} \Leftrightarrow a = 0
\]
Vô lý vì $a>x_n>0$. Như vậy $\lim x_n=+\infty$. Suy ra $\lim y_n=6$.

[viet 1846]

Cho dãy số:$(x_n)\;\begin{cases}x_1=\frac{1}{2} \\ x_n=\dfrac{\sqrt{x_{n-1}^2 + 4x_{n-1}} + x_{n-1}}{2},\forall n\ge2 \end{cases}$.
Chứng minh rằng dãy $(y_n)$ với $y_n=\sum{\frac{1}{x_i^2}}$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Của em này Kiên:

http://www.mediafire...50wo80gy57br893