Chủ đề này có 1 trả lời

[Ispectorgadget]

Cho $\large{(a_n)\begin{cases}a_0=1\\a_n=a_{n-1}+a_{[\frac{n}{2}]}\end{cases}}$
Chứng minh rằng tồn tại vô số n để $a_n$ chia hết cho 7

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 07-12-2012 - 21:56

[Secrets In Inequalities VP]

Cho $\large{(a_n)\begin{cases}a_0=1\\a_n=a_{n-1}+a_{[\frac{n}{2}]}\end{cases}}$
Chứng minh rằng tồn tại vô số n để $a_n$ chia hết cho 7

Giả sử chỉ có hữu hạn số chia hết cho $7$ và $a_k$ là số cuối cùng trong các số ấy
Theo ct xác định dãy ta có : $a_{2k+1}= a_{2k}+a_k;a_{2k}= a_{2k-1}+a_k$
$\Rightarrow a_{2k-1}\equiv a_{2k}\equiv a_{2k+1}\equiv b \pmod 7$
Ta có : $a_{4k-3}\equiv a_{4k-3}+0.b \pmod 7$
$a_{4k-2}= a_{4k-3}+a_{2k-1}\equiv a_{4k-3}+1.b \pmod 7$
$a_{4k-1}= a_{4k-2}+a_{2k-1}\equiv a_{4k-3}+2.b \pmod 7$
$a_{4k}= a_{4k-1}+a_{2k}\equiv a_{4k-3}+3.b \pmod 7$
$a_{4k+1}= a_{4k}+a_{2k}\equiv a_{4k-3}+4.b \pmod 7$
$a_{4k+2}= a_{4k+1}+a_{2k+1} \equiv a_{4k-3}+5.b \pmod 7$
$a_{4k+3}= a_{4k+2}+a_{2k+1} \equiv a_{4k-3}+6.b \pmod 7$
Do $\gcd (b,7)=1$ nên các số $a_{4k-3}+ib$ với $i$ chạy từ $0$ đến $6$ lập thành 1 HĐĐ modulo 7.
Nên trong $7$ số $a_{4k-3}+ib$ phải có một số chia hết cho $7$, mà số này lại lớn hơn $a_k$: mâu thuẫn vs điều giả sử
Vậy giả sử là sai và ta có $Q.E.D$

p/s :Ai sửa hộ mình cái Latex vs .Thanks trước !

Perfectstrong: Đề nghị em nên học một lớp bổ túc về latex gấp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 08-12-2012 - 20:28