Chủ đề này có 3 trả lời

[BlackSelena]

Bài toán 1: CMR: $2\sqrt{n+1} - 2\sqrt{2} + 1 < \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n} + 1 (\forall n \in \mathbb{N*})$
Bài toán 2: CMR: $\frac{1}{2\sqrt{n}} \leq \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{5} ... \frac{2n-1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{2n}} (n \in \mathbb{N^{*}})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 08-12-2012 - 19:54

[WhjteShadow]

Bài toán 1: CMR: $2\sqrt{n+1} - 2\sqrt{2} + 1 < \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n} + 1 (\forall n \in \mathbb{N*})$
Bài toán 2: CMR: $\frac{1}{2\sqrt{n}} \leq \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{5} ... \frac{2n-1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{2n}} (n \in \mathbb{N^{*}})$

Anh làm mẫu ch0 em 1 câu còn lại tương tự hết nhé Dạng này là quy nạp thông thường thôi :") VP bài 1 ha !
$\bullet$ Nếu $n=1$ bất đẳng thức trở thành:
$$1<2+1=3 \,\,\,(\text{Đúng})$$
$\bullet$ Giả sử bất đẳng thức đúng đến $n=k$ hay :
$$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + ... + \frac{1}{\sqrt{k}} < 2\sqrt{k} + 1$$
$\bullet$ ta sẽ chứng minh nó đúng với $n=k+1$ hay :
$$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + ... + \frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}} < 2\sqrt{k+1} + 1$$
Thật vậy ta chỉ cần chứng minh:
$$\frac{1}{\sqrt{k+1}}< 2\sqrt{k+1}-2\sqrt{k}$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{k+1}}< \frac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$$
$$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}< 2$$
$$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}< 1$$
Luôn đúng :"P
Vậy the0 nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh $\square$

[Sagittarius912]

Bài toán 1: CMR: $2\sqrt{n+1} - 2\sqrt{2} + 1 < \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n} + 1 (\forall n \in \mathbb{N*})$

Ta có đánh giá sau:
$\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}< \frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}} \Leftrightarrow 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})<\frac{1}{\sqrt{n}}< 2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$
Tương tự ta có
$2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})<\frac{1}{\sqrt{n-1}}< 2(\sqrt{n-1}-\sqrt{n-2})$
...
$2(\sqrt{4}-\sqrt{3})<\frac{1}{\sqrt{3}}< 2(\sqrt{3}-\sqrt{2})$
$2(\sqrt{3}-\sqrt{2})<\frac{1}{\sqrt{2}}< 2(\sqrt{2}-\sqrt{1})$
Cộng vế theo vế các bdt trên ta có
$2\sqrt{n+1}-2\sqrt{2}+1<\frac{1}{\sqrt{1}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}-1<2\sqrt{n}+1$
dpcm

[yeutoan11]

Bài toán 1: CMR: $2\sqrt{n+1} - 2\sqrt{2} + 1 < \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n} + 1 (\forall n \in \mathbb{N*})$
Bài toán 2: CMR: $\frac{1}{2\sqrt{n}} \leq \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{5} ... \frac{2n-1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{2n}} (n \in \mathbb{N^{*}})$

Bài 2 :
Đặt cái ở giữa $= A$
BĐT với $ 0 < a < b $ và $c > 0$ Ta có : $\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}$ CM bằng tương đương
Áp dụng đc :
$A < \frac{2}{3}.\frac{4}{5}...\frac{2n}{2n+1}$
Vậy $A^2 < \frac{1}{2n+1}<\frac{1}{2n}$
$\Leftrightarrow A<\frac{1}{\sqrt{2n}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 08-12-2012 - 23:27