Chủ đề này có 8 trả lời

[tramyvodoi]

Tìm số thực $x$ thỏa mãn điều kiện sau :
$\left [ x \right ] + \left [ 2x \right ] + \left [ 4x \right ] + \left [ 8x \right ] + \left [ 16x \right ] + \left [ 32x \right ] = 12345$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 11-12-2012 - 21:33

[nguyenta98]

Tìm số thực $x$ thỏa mãn điều kiện sau :
$\left [ x \right ] + \left [ 2x \right ] + \left [ 4x \right ] + \left [ 8x \right ] + \left [ 16x \right ] + \left [ 32x \right ] = 12345$

Giải như sau:
$[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12345$ đặt $x=[x]+r$ với $r$ là phần lẻ hay $0\le r<1$
Suy ra $[x](1+2+4+8+16+32)+[r]+[2r]+[4r]+[8r]+[16r]+[32r]=12345 \Rightarrow [x].63\le 12345 \Rightarrow [x]\le 195$
Mặt khác $[r]+[2r]+[4r]+[8r]+[16r]+[32r]=[2r]+[4r]+[8r]+[16r]+[32r]<2+4+8+16+32=62 \Rightarrow [x].63>12283 \rightarrow [x]>194$
Suy ra $[x]=195$ như vậy $[2r]+[4r]+[8r]+[16r]+[32r]=60$ với $0\le r<1$
Mặt khác $[2r]<2$ mà $[2r]$ nguyên nên $[2r]\le 1$ tương tự $[4r]\le 3$, $[8r]\le 7$,$[16r]\le 15, [32r]\le 31$ nên $[2r]+...+[32r]\le 1+3+7+15+31<60$ do đó vô lí vậy vô nghiệm nguyên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 18-12-2012 - 20:35

[hxthanh]

Giải như sau:
$[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12345$ đặt $x=[x]+r$ với $r$ là phần lẻ hay $0\le r<1$
Suy ra $[x](1+2+4+8+16+32)+[r]+[2r]+[4r]+[8r]+[16r]+[32r]=12345 \Rightarrow [x].63\le 12345 \Rightarrow [x]\le 195$
Mặt khác $[r]+[2r]+[4r]+[8r]+[16r]+[32r]=[2r]+[4r]+[8r]+[16r]+[32r]<2+4+8+16+32=62 \Rightarrow [x].63>12283 \rightarrow [x]>194$
Suy ra $[x]=195$ như vậy $[2r]+[4r]+[8r]+[16r]+[32r]=60$ với $0\le r<1$
Mặt khác $[2r]<2$ mà $[2r]$ nguyên nên $[2r]\le 1$ tương tự $[4r]\le 3$, $[8r]\le 7$,$[16r]\le 15, [32r]\le 31$ nên $[2r]+...+[32r]\le 1+3+7+15+31<60$ do đó vô lí vậy vô nghiệm nguyên

Bài này nguyenta98 làm chính xác từ đầu đến cuối trừ mỗi câu kết luận

[nguyenta98]

Bài này nguyenta98 làm chính xác từ đầu đến cuối trừ mỗi câu kết luận

Em đã hiểu !!!! Phải là vô nghiệm nguyên DƯƠNG

hxthanh: Phải là phương trình đã cho vô nghiệm thực

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 18-12-2012 - 23:25
Reply

[Primary]

Tìm số thực $x$ thỏa mãn điều kiện sau :
$\left [ x \right ] + \left [ 2x \right ] + \left [ 4x \right ] + \left [ 8x \right ] + \left [ 16x \right ] + \left [ 32x \right ] = 12345$

Em có cách này :
Dễ thấy $n[x]\leq [nx]\leq n[x]+1,\forall n\in \mathbb{N}^*$
$\Rightarrow \sum_{k=0}^{5}(2^k.[x])\leq \sum_{k=0}^{5}[2^k.x]\leq \sum_{1}^{5}(2^k.[x]+1)+[x]$
hay $63[x]\leq \sum_{k=0}^{5}[2^k.x]\leq 63[x]+5\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}63[x]\leq 12345 & & \\ 12345\leq 63[x]+5 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \frac{12340}{63}\leq [x]\leq \frac{4115}{21}$
(Vô lí)
Do vậy phương trình có tập nghiệm $S=\varnothing$

[hxthanh]

@: Primary
Em chứng minh cái "dễ thấy" này đi.
$n\lfloor x\rfloor\le\lfloor nx\rfloor\le n\lfloor x\rfloor+1,\;\forall n\in\mathbb N^*$

[Primary]

@: Primary
Em chứng minh cái "dễ thấy" này đi.
$n\lfloor x\rfloor\le\lfloor nx\rfloor\le n\lfloor x\rfloor+1,\;\forall n\in\mathbb N^*$

*Với mọi số thực x, y thì:
$[x+y]=[[x]+[y]+\left \{ x \right \}+\left \{ y \right \}]=[x]+[y]+[\left \{ x \right \}+\left \{ y \right \}]$
Vì $0\leq \left \{ x \right \},\left \{ y \right \}<1$ nên
$\Rightarrow [x]+[y]\leq [x+y]\leq [x+y]+1$ (*)
1) Chứng minh: $n[x]\leq [nx]$
Áp dụng (*) ta có : $n[x]=[x]+...+[x]\leq [x+x]+[x]+...+[x]\leq ...\leq [x+...+x]=n[x]\Leftrightarrow n[x]\leq [nx]$
Do đó (1) được chứng minh
2) Chứng minh $[nx]\leq n[x]+1$
*Nếu $n=2k, k\in \mathbb{N}$:
$[nx]=[kx+kx]\leq [kx]+[kx]+1=2[kx]+1\leq [2kx]+1\Leftrightarrow [nx]\leq n[x]+1$
*Nếu $n=2k+1,k\in \mathbb{N}$: (phần này cứng như đá)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Primary: 20-12-2012 - 14:35

[nguyenta98]

@: Primary
Em chứng minh cái "dễ thấy" này đi.
$n\lfloor x\rfloor\le\lfloor nx\rfloor\le n\lfloor x\rfloor+1,\;\forall n\in\mathbb N^*$

Thầy thanh nói đúng đó, cái này hiển nhiên là sai khi ta chọn khéo phần lẻ của $x$
$x=[x]+\{x\}$
Nên $[nx]=[n[x]+n\{x\}]=n[x]+[n\{x\}]$
Đến đây lựa chọn cẩn thận ta sẽ chọn được $\{x\}\geq \dfrac{2}{n}$ (với $n\geq 3$) mà vẫn đảm bảo được $\{x\}<1$ khi ấy $[n\{x\}]\geq 2$ nên BDT của bạn đã bị sai

[Primary]

Thầy thanh nói đúng đó, cái này hiển nhiên là sai khi ta chọn khéo phần lẻ của $x$
$x=[x]+\{x\}$
Nên $[nx]=[n[x]+n\{x\}]=n[x]+[n\{x\}]$
Đến đây lựa chọn cẩn thận ta sẽ chọn được $\{x\}\geq \dfrac{2}{n}$ (với $n\geq 3$) mà vẫn đảm bảo được $\{x\}<1$ khi ấy $[n\{x\}]\geq 2$ nên BDT của bạn đã bị sai

Lúc đầu nhìn vào thử mọi số thấy đúng nhưng chứng minh không được và thử như nguyenta98 thì kết quả lại sai. Vậy chẳng lẽ chỉ có duy nhất 1 cách hay sao ???