Chủ đề này có 1 trả lời

[Oral1020]

Cho ba số dương $a,b,c$.Chứng minh rằng:
$\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a} \ge a\sqrt{ac}+b\sqrt{ba}+c\sqrt{cb}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 14-12-2012 - 19:19

[tramyvodoi]

Mình xin giải bài này như sau:
Ta có $\frac{a^{3}}{b}+ba\geq 2a^{2}$
$\frac{b^{3}}{c}+bc\geq 2b^{2}$
$\frac{c^{3}}{a}+ac\geq 2c^{2}$
=>$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}+ab+bc+ca\geq 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}$
=>$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{a}+\frac{c^{3}}{a}\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-(ab+bc+ac)\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$ (do $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$
Bài toán sẽ đúng nếu chứng minh được:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \sum a\sqrt{ac}$
Áp dụng bđt Bunha.
Ta có $(\sum a\sqrt{ac})^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(ab+bc+ca)\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$ (do $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$)
từ đây, lấy căn 2 vế ta đc đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 14-12-2012 - 19:59