Chủ đề này có 2 trả lời

[minhhieu070298vn]

1/Cho tứ giác ABCD không nội tiếp. Chứng minh rằng"
$AB.CD+AD.BC\geq AC.BD$
2/Tứ giác ABCD nột tiếp; AB.CD=AD.BC; K,H là trung điểm của AC, BD.
Chứng minh rằng: AH+CH=BK+DK

[anhxuanfarastar]

1/Cho tứ giác ABCD không nội tiếp. Chứng minh rằng"
$AB.CD+AD.BC\geq AC.BD$
2/Tứ giác ABCD nột tiếp; AB.CD=AD.BC; K,H là trung điểm của AC, BD.
Chứng minh rằng: AH+CH=BK+DK

bài 1: Dựng E sao cho $\Delta BCD\sim \Delta BEA\Rightarrow \frac{BA}{EA}=\frac{BD}{CD}\Rightarrow AB.CD=AE.BD (2)$
Mặt khác, $\Delta EBC\sim \Delta ABD\Rightarrow \frac{AB}{BD}=\frac{BE}{BC}\Rightarrow \frac{EC}{BC}=\frac{AD}{BD}
\Rightarrow AD.BC=EC.BD (3)$
Cộng (2) và (3) ta được $AB.CD+AD.BC=BD(EA+EC)$
Ap dụng bất đẳng thức tam giác suy ra dpcm

[BlackSelena]

2/Tứ giác ABCD nột tiếp; AB.CD=AD.BC; K,H là trung điểm của AC, BD.
Chứng minh rằng: AH+CH=BK+DK

Chứng minh:
Áp dụng định lý Ptolemy, kết hợp với giả thiết, ta có:
$AC.BD = 2AB.DC$
$\Leftrightarrow \frac{AK}{AB} = \frac{DC}{DB}$
$\Rightarrow \triangle AKB \sim \triangle DCB$
$\Rightarrow KB = \frac{AB.BC}{DB}$
Tương tự, ta cũng có $KD = \frac{AD.DC}{DB}$
Vậy $KB+KD = \frac{AB.BC + AD.DC}{DB} = \frac{AB.BC.\sin ABC + AD.DC.\sin ADC}{BD.\sin ABC}$
$= \frac{4R.S_{ABC}}{AC.BD}$
Công thức trên hoàn toàn đối xứng với 4 điểm $A,B,C,D$ nên khỏi cần mất thời gian ta cũng chắc chắn rằng tổng $HA+HC$ có kết quả tương tự. Vậy ta có đpcm!