1 reply to this topic

[chocopai]

Cho $0 < x < \frac{\pi}{4}$. CMR : $\left ( \cos x \right )^{\cos x} > \left ( \sin x \right )^{\sin x}$.
@tramy : Lần sau gõ công thức bạn nhớ kẹp giữa hai thẻ đô la ($$) nhé !

Edited by tramyvodoi, 16-12-2012 - 09:12.

[Tham Lang]

Cho $0 < x < \frac{\pi}{4}$. CMR : $\left ( \cos x \right )^{\cos x} > \left ( \sin x \right )^{\sin x}$.
@tramy : Lần sau gõ công thức bạn nhớ kẹp giữa hai thẻ đô la ($$) nhé !

BĐT tương đương :
$$\left (\cos{x}\right )^{\cot{x}} > \sin{x}$$
$$\Leftrightarrow \left (1-\sin^2{x}\right )^{\cot{x}} > 1- \cos^2{x}$$
Thật vậy, vì $0 <x<\dfrac{\pi}{4} \Leftrightarrow \cot{x}>1$
Do đó , theo BĐT Bernoulli, ta có :
$$\left (1-\sin{x}\right )^{\cot{x}} \ge 1-\cos{x}$$
$$\left (1+\sin{x}\right )^{\cot{x}} \ge 1+ \cos{x}$$
Nên
$$\Leftrightarrow \left (1-\sin^2{x}\right )^{\cot{x}} > 1- \cos^2{x}$$
BĐT đã được chứng minh.

Edited by Tham Lang, 17-12-2012 - 16:28.