Chủ đề này có 1 trả lời

[phamvanha92]

CMR : số nguyên dương $m$ là số chính phương khi và chỉ khi tồn tại $1$ trong các hiệu $(m + i)^{2} - m$ với $(i \in \left \{1, 2, 3,..., m \right \})$ $\vdots$ $n$ với số nguyên dương $n$ bất kỳ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 16-12-2012 - 14:05

[nguyenta98]

CMR : số nguyên dương $m$ là số chính phương khi và chỉ khi tồn tại $1$ trong các hiệu $(m + i)^{2} - m$ với $(i \in \left \{1, 2, 3,..., m \right \})$ $\vdots$ $n$ với số nguyên dương $n$ bất kỳ.

Bài này bạn có nhầm không vì theo mình $m^2-m<(m+i)^2-m<(m+m)^2=4m^2$ trong khoảng này chỉ cần cho $n$ đủ lớn để vượt qua khoảng trên là bài toán của bạn sai theo mình đề phải là $(m-i)^2-m$ với $i \in (1,2,3,...,m)$
Giải như sau:
$\boxed{\text{chiều thuận}}$ $m^2$ chính phương suy ra tồn tại một trong các hiệu $(m-i)^2-m \vdots n$ với $n$ bất kì
Đặt $m=k^2$ khi ấy $(m-i)^2-m=(m-i)^2-k^2=(m-i-k)(m-i+k)$ mà $m=k^2$ nên $k=\sqrt{m}$
TH1: $n<m+\sqrt{m}$ khi ấy tồn tại $i$ với $i \in (1,2,..,m)$ để $m-i+k=n$ nên do đó $(m-i)^2-m \vdots n$ có đpcm
TH2: $n\geq m+\sqrt{m}$ khi ấy chọn $i$ sao cho $m-i=k$ (ta chọn được vì $k<m$ nên tồn tại $i$ sao cho $m-i=k$) khi ấy $(m-i)^2-m^2=k^2-k^2=0 \vdots n$ nên có $đpcm$
$\boxed{\text{chiều đảo}}$ $(m-i)^2-m \vdots n$ với $n$ bất kì thì $m$ chính phương
Chứng minh chiều này đơn giản hơn nhiều, từ đề tồn tại một hiệu $(m-i)^2-m \vdots n$ nên $|(m-i)^2-m|\geq n$
Giờ chọn $n>(m+m)^2-m=4m^2-m$ khi ấy ta có $4m^2-m>|(m-i)^2-m|$ nên $n>|(m-i)^2-m|$ vô lí do đó $|(m-i)^2-m|$ chỉ có thể bằng $0$ do đó $(m-i)^2=m$ hay đặt $m-i=k$ thì $m=k^2$ hay $m$ chính phương đây là $đpcm$
Bài toán được cm hoàn toàn