Chủ đề này có 13 trả lời

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Bài $1$ :
Cho $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a + b + c > 0$. Chứng minh :
$$\frac{a^{2}}{3a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}}{3b^{2}+(c+a)^{2}}+\frac{c^{2}}{3c^{2}+(a+b)^{2}}\leq \frac{1}{2}$$.
Bài $2$ :
Cho $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a + b + c > 0$. Chứng minh :
$$\frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}} + \frac{b^{2}}{2b^{2}+(c+a)^{2}} + \frac{c^{2}}{2c^{2} + (a+b)^{2}} \leq \frac{2}{3}$$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 18-12-2012 - 11:59

[hoangtrunghieu22101997]

Bài 1:Cho a,b,c là các số thực không âm thoẩ mãn a+b+c>0.Chứng minh
$$\frac{a^{2}}{3a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}}{3b^{2}+(c+a)^{2}}+\frac{c^{2}}{3c^{2}+(a+b)^{2}}\leq \frac{1}{2}$$

Chứng minh bổ đề ; $$\dfrac{a^2}{3a^2+(b+c)^2} \le \dfrac{a}{2(a+b+c)}$$
THật vậy điều này tương đương với:
$3a^2+(b+c)^2 \ge 2a^2+2a(b+c) \Leftrightarrow (a-b-c)^2 \ge 0$

Mình sai

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrunghieu22101997: 17-12-2012 - 17:40

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Chứng minh bổ đề: $\dfrac{a^2}{2a^2+(b+c)^2} \le \dfrac{2a}{3(a+b+c)}$

Bổ đề này sai,thử với a=2,1 và b=c=1

[Sagittarius912]

Bài $1$ :
Cho $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a + b + c > 0$. Chứng minh :
$\frac{a^{2}}{3a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}}{3b^{2}+(c+a)^{2}}+\frac{c^{2}}{3c^{2}+(a+b)^{2}}\leq \frac{1}{2}$.

Ta có:
$\frac{a^{2}}{3a^{2}+(b+c)^{2}}\leq \frac{a^{2}}{2a^{2}+2a(b+c)}= \frac{a}{2(a+b+c)}$
tương tự ta có:
$\frac{b^{2}}{3b^{2}+(a+c)^{2}}\leq \frac{b}{2(a+b+c)}$
$\frac{c^{2}}{3c^{2}+(a+b)^{2}}\leq \frac{c}{2(a+b+c)}$
cộng 3 bdt trên ta có dpcm.

_______________________________
p/S: ơ thế dấu "=" không xảy ra à????

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Bài 1:
Mình làm cách này hơi dài dòng tí
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
$$\sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+(b+c)^{2}}\leq \sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+b^{2}+bc+c^{2}}=\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2a^{2}+bc}\leq \frac{1}{4}(\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{+\sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+bc})=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\sum\frac{ a^{2}}{2a^{2}+bc}}$$
Tachỉ cần chứng minh
$$\frac{a^{2}}{2a^{2}+bc}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+ca}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+ab}\leq 1$$
$$\Leftrightarrow \frac{bc}{2a^{2}+bc}+\frac{ca}{2b^{2}+ca}+\frac{ab}{2c^{2}+ab}\geq 1$$
C-S cho vế trái ta được
$$\Leftrightarrow \frac{bc}{2a^{2}+bc}+\frac{ca}{2b^{2}+ca}+\frac{ab}{2c^{2}+ab}\geq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+2a^{2}bc+2ab^{2}c+2abc^{2}}=1$$
Kết thúc chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi a=b;c=0 và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 17-12-2012 - 22:33

[Sagittarius912]

Bài 1:
Mình làm cách này hơi dài dòng tí
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
$$\sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+(b+c)^{2}}\leq \sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+b^{2}+bc+c^{2}}=\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2a^{2}+bc}

Dấu "=" xảy ra khi a=b;c=0 và các hoán vị

cho mình hỏi cái, đoạn này bạn sử dụng bdt
$(b+c)^{2}\geq b^{2}+bc+c^{2}$ phải không????. nếu thế thì dấu "=" phải xảy ra khi $a=b=c=0$ chứ????

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 17-12-2012 - 22:40

[HÀ QUỐC ĐẠT]

c=0 là đủ rồi mà bạn,bạn cứ thử thay vào xem ,còn phân thức cuồi cùng tử số là $c^{2}$ nên ở đó dấu"=" không quan trọng vì đằng nào nó cũng bằng 0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 17-12-2012 - 22:43

[Sagittarius912]

không, vì ở đây bạn viết là $\sum$ mà, do đó cả 3 số phải cùng = 0 chứ??

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Mình viết thế cho nó gọn hơn thôi bạn à,tại mình hơi lười gõ

[Sagittarius912]

bạn chữa luôn bài 2 đc không? mở mang tầm mắt

[HeyJude]

Bài $2$ :
Cho $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a + b + c > 0$. Chứng minh :
$\frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}} + \frac{b^{2}}{2b^{2}+(c+a)^{2}} + \frac{c^{2}}{2c^{2} + (a+b)^{2}} \leq \frac{ 2}{3} $.

BDT có vẻ sai nhỉ
Khi cho a=b=c=1
Có lẽ là $\frac{1}{2}$ chứ không phải $\frac{2}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HeyJude: 18-12-2012 - 08:03

[HÀ QUỐC ĐẠT]

BDT có vẻ sai nhỉ
Khi cho a=b=c=1
Có lẽ là $\frac{1}{2}$ chứ không phải $\frac{2}{3}$

$\frac{1}{2}$ có nhỏ hơn $\frac{2}{3}$ không bạn?

[WhjteShadow]

Bài $2$ :
Cho $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a + b + c > 0$. Chứng minh :
$$\frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}} + \frac{b^{2}}{2b^{2}+(c+a)^{2}} + \frac{c^{2}}{2c^{2} + (a+b)^{2}} \leq \frac{2}{3}$$.

Cứ tương tự mà fang thôi ^^~
Ta có đánh giá the0 $Cauchy-Schwarz$:
$$\frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}\leq \frac{a^2}{a^2+\frac{bc}{2}+a^2+b^2+c^2}$$
$$\leq \frac{1}{9}\left(\frac{a^2}{a^2+\frac{bc}{2}}+\frac{4a^2}{a^2+b^2+c^2}\right)$$
Tương tự và cộng lại, để ý $\sum \frac{4a^2}{a^2+b^2+c^2}=4$ thì ta cần chứng minh:
$$\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\leq 1$$
Như trên rồi

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Cách của Đạt ngắn gọn quá
Đặt $a^{2}=x;b^{2}=y^{2}=z$
TH1:$a\geq b\geq c$
Ta có:
$$\frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+(c+a)^{2}}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+(a+b)^{2}}\leq \frac{a^{2}}{2a^{2}+b^{2}+2c^{2}}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+a^{2}+2c^{2}}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}}=\frac{x}{2x+y+2z}+\frac{y+z}{2z+x+2y}$$
Cần chứng minh:
$$\frac{x}{2x+y+2z}+\frac{y+z}{2z+x+2y}\leq \frac{2}{3}$$
$$\Leftrightarrow \frac{y+2z}{2x+y+2z}+\frac{x}{2z+x+2y}\geq \frac{2}{3}$$
Áp dụng Cauchy-Schwarz cho vế trái ta có:
$$\Leftrightarrow \frac{y+2z}{2x+y+2z}+\frac{x}{2z+x+2y}\geq\Leftrightarrow \frac{y+2z}{2x+y+2z}+\frac{x}{2z+x+2y}\geq \frac{(x+y+2z)^{2}}{(2x+y+2z)(y+2z)+x(x+2y+2z)}\geq \frac{2}{3}$$
$$\Leftrightarrow (x-y)^{2}+4z^{2}+4yz\geq 0$$
TH2:$b\geq a\geq c$
$$\frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+(c+a)^{2}}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+(a+b)^{2}}\leq \frac{a^{2}}{2a^{2}+b^{2}+2c^{2}}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+a^{2}+2c^{2}}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+b^{2}+2a^{2}}=\frac{y}{2y+x+2z}+\frac{x+z}{2x+y+2z}$$
Lại có:
$$\frac{y}{2y+x+2z}+\frac{x+z}{2x+y+2z}\geq \frac{(x+y+2z)^{2}}{(2x+y+2z)y+(2y+x+2z)(x+2z)}\geq \frac{2}{3}$$
$$\Leftrightarrow (x-y)^{2}+4z^{2}+4xz\geq 0$$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Dấu"=" xảy ra khi $a=b;c=0$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 19-12-2012 - 12:16