Chứng minh rằng: $ab\leq a^a.b^b$
#1
Posted 17-12-2012 - 20:43
$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$
#2
Posted 17-12-2012 - 22:32
trời ơi sao cứ nhầm lẫn bdt Muirdead thế nàyvì $a+b=2$ nên phải có 1 số $\geq 1$, giả sử đó là a, ta có
$a\geq 1>b$
Do đó $[a,b]\succ [1,1]$ nên theo bdt Muirhead ta có
$a^{a}b^{b}\geq a^{1}b^{1}$ (dpcm)
dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$??
đây mới là lời giải đúng nè bạnChứng minh rằng: Nếu $a, b >0$ và $a+b=2$ thì $ab\leq a^a.b^b$
vì $a+b=2$ nên phải có 1 số $\geq 1$, giả sử đó là a, ta có
$a\geq 1\geq b$ do đó tồn tại số không âm c sao cho
$a-c=1;b+c=1$
Ta có
$a^{a}b^{b}=a^{1+c}b^{1-c}=ab.\frac{a^{c}}{b^{c}}$
mà $a\geq 1\geq b\Rightarrow \frac{a}{b}\geq 1\Rightarrow \frac{a^{c}}{b^{c}}\geq 1$
Do đó
$ab.\frac{a^{c}}{b^{c}}\geq ab$
hay
$a^{a}b^{b}\geq ab$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$
- yellow likes this
#3
Posted 18-12-2012 - 11:22
Cảm ơn bạn nhiều nha, hic hic bài trước mình đọc mà chẳng hiểu gì hết! May quá!trời ơi sao cứ nhầm lẫn bdt Muirdead thế này
đây mới là lời giải đúng nè bạn
vì $a+b=2$ nên phải có 1 số $\geq 1$, giả sử đó là a, ta có
$a\geq 1\geq b$ do đó tồn tại số không âm c sao cho
$a-c=1;b+c=1$
Ta có
$a^{a}b^{b}=a^{1+c}b^{1-c}=ab.\frac{a^{c}}{b^{c}}$
mà $a\geq 1\geq b\Rightarrow \frac{a}{b}\geq 1\Rightarrow \frac{a^{c}}{b^{c}}\geq 1$
Do đó
$ab.\frac{a^{c}}{b^{c}}\geq ab$
hay
$a^{a}b^{b}\geq ab$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$
$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users