Chủ đề này có 1 trả lời

[Kudo Shinichi]

Cho $a,b,c\geq 0$ thoả mãn: $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}=\sqrt{2k}$
Chứng minh: $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{\sqrt{k}}{2}$

[tramyvodoi]

Giả sử $a\geq b\geq c$
Khi đó, ta thu được 2 bđt sau:$\left\{\begin{matrix} a^{2}\geq b^{2}\geq c^{2} & \\ \frac{1}{b+c}\geq \frac{1}{c+a}\geq \frac{1}{a+b} & \end{matrix}\right.$
Áp dụng bđt chebyshev:
$3(a^{2}\frac{1}{b+c}+b^{2}\frac{1}{c+a}+c^{2}\frac{1}{a+b})\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2}).9}{2(a+b+c)}$
$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2(a+b+c)}$ (1)
Ta có $a+b+b+c+c+a\leq \sqrt{2(a^{2}+b^{2})}+\sqrt{2(b^{2}+c^{2})}+\sqrt{2(a^{2}+c^{2})}$
$\Rightarrow a+b+c\leq \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{a^{2}+c^{2}})$ (2)
$(1+1+1)(a^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2}+c^{2}+a^{2})\geq (\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}})^{2}$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 6(\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}})^{2}$ (3)
Kết hợp (1), (2), (3) ta được đpcm