Chủ đề này có 4 trả lời

[mrjackass]

Cho biết x,y,z thực dương và $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 1$
Tìm GTNN biểu thức $\sum \frac{x^{3}}{y^{2}+z^{2}}$

Công thức kẹp trong cặp dấu $

$công thức$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 18-12-2012 - 22:26

[banhgaongonngon]

Ta có $(\frac{x^{3}}{y^{2}+z^{2}})^{2}=\frac{x^{6}}{(1-x^{2})(1-x^{2})}$

Bạn ơi, bạn giải thích dùm mình đoạn này được không? Sao lại có đoạn này vậy?

[no matter what]

Ta có $(\frac{x^{3}}{y^{2}+z^{2}})^{2}=\frac{x^{6}}{(1-x^{2})(1-x^{2})}$
$=\frac{2x^{2}.x^{6}}{2x^{2}.(1-x^{2})(1-x^{2})}$$\geq \frac{2x^{8}}{(\frac{2}{3})^{3}}$$=\frac{27x^{8}}{4}$
=>$\frac{x^{3}}{y^{2}+z^{2}}\geq \frac{\sqrt{27}x^{4}}{2}$
Tương tự => VT$\geq \frac{\sqrt{27}}{2}(x^{4}+y^{4}+z^{4})=\frac{\sqrt{27}}{6}(1+1+1)(x^{4}+y^{4}+z^{4})$$\geq \frac{\sqrt{27}}{6}$

lời giải này sai rồi,bạn xem lại đề nhé(chắc là bạn kia chế đề )

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Theo Bunhiacopxki ta có
$$\sum \frac{x^{3}}{y^{2}+z^{2}}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)}$$
Mặt khác
$$xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)\leq \sqrt{(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2})[(x+y)^{2}+(y+z)^{2}+(z+x)^{2}]}\leq \sqrt{\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{3}.4(x^{2}+y^{2}+z^{2})}=\frac{2}{\sqrt{3}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} $$
$$\Rightarrow VT\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} }=\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Vậy GTNN là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ khi $x=y=z\frac{1}{\sqrt{3}}$

[VNSTaipro]

Bạn xem ại dòng 2 màu đỏ nhé,dk là $x^2+y^2+z^2\geq 1$ chứ không phải $x^2+y^2+z^2= 1$ nên dĩ nhiên sai ngay từ đoạn đầu

U` mình đọc nhầm đề