Chủ đề này có 1 trả lời

[uyenha]

Các số nguyên dương $a , b , c , d$ thoả mãn điều kiện:
$a^{2} + b^{2} + ab = c^{2} + d^{2} + cd$
CMR : $a + b + c + d$ là hợp số.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 19-12-2012 - 21:05

[nguyenta98]

Các số nguyên dương a,b,c,d thoả mãn điều kiện:
$a^{2}+b^{2}+ab=c^{2}+d^{2}+cd$
CMR a+b+c+d là hợp số

Giải như sau:
Giả sử phản chứng $a+b+c+d$ là số nguyên tố hay khi ấy $gcd(a+c,b+d)=1$ vì ngược lại $a+c \vdots p$ và $b+d \vdots p$ với $p$ nguyên tố khi ấy $a+b+c+d \vdots p$ mà $a+b+c+d$ đã giả sử nguyên tố suy ra $a+b+c+d=p$ vô lí vì $a+c\geq p,b+d\geq p$ nên $a+b+c+d\geq 2p$ do đó $gcd(a+c,b+d)=1$
Ta lại có $2a^2+2b^2+2ab=2c^2+2d^2+2cd \Rightarrow (a+b)^2+a^2+b^2=(c+d)^2+c^2+d^2$
Suy ra $a^2-c^2+b^2-d^2=(c+d-a-b)(a+b+c+d)$
Hay $a^2-c^2+b^2-d^2 \vdots (a+b+c+d)$ hay $(a-c)(a+c)+(b-d)(b+d) \vdots (a+b+c+d)$
Lại có $a+c \equiv -(b+d) \pmod{(a+b+c+d)}$ nên $(a-c)(a+c)+(b-d)(b+d) \equiv (a-c)(a+c)-(b-d)(a+c)=(a+c)(a-c-b+d) \pmod{(a+b+c+d)}$
Do đó $(a+c)(a-c-b+d) \vdots (a+b+c+d)$ mà $gcd(a+c,b+d)=1$ nên $a-c-b+d \vdots a+b+c+d$
Do đó $a-c-b+d+a+b+c+d \vdots (a+b+c+d) \Rightarrow 2(a+d) \vdots (a+b+c+d)$ mà $a+b+c+d$ nguyên tố và $a,b,c,d$ nguyên dương nên $a+b+c+d>2$ do đó $a+b+c+d$ lẻ nên $a+d \vdots a+b+c+d$ hay $a+d\geq a+b+c+d$ vô lí
Do đó điều giả sử là sai hay $a+b+c+d$ là hợp số, đây là $đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 19-12-2012 - 21:06