Chủ đề này có 3 trả lời

[tramyvodoi]

Cho 3 số dương thỏa a+b+c=3. Chứng minh rằng:
$8(\sum \frac{1}{a})+9\geq 10(\sum a^{2})$

[maitienluat]

Không mất tổng quát giả sử a=max{a,b,c}.
Ta có 9=$(42a-48)+(42b-\frac{69}{2})+(42c-\frac{69}{2})$
nên BĐT cần chứng minh tương đương
$(\frac{8}{b}+42b-10b^{2}-\frac{69}{2})+(\frac{8}{c}+42c-10c^{2}-\frac{69}{2})\geq (10a^{2}-\frac{8}{a}-42a+48)$
$\Leftrightarrow \frac{(2b-1)^{2}(16-5b)}{b}+\frac{(2c-1)^{2}(16-5c)}{c}\geq \frac{(a-2)^{2}(5a-1)}{a}$
Theo Cauchy-Schwarz thì $\frac{(2b-1)^{2}}{\frac{b}{16-5b}}+\frac{(2c-1)^{2}}{\frac{c}{16-5c}}\geq \frac{4(a-2)^{2}}{\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}}$
Ta chỉ cần chứng minh $\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}\leq \frac{4a}{5a-1}$
Ta có $\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}\leq \frac{b}{16-5a}+\frac{c}{16-5a}= \frac{3-a}{16-5a}$
và $\frac{4a}{5a-1}-\frac{3-a}{16-5a}= \frac{-15a^{2}+48a+3}{(5a-1)(16-5a)}>0\forall a\in (0,3)$
Suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a=2,b=c=1/2 và các hoán vị

[Joker9999]

Cho 3 số dương thỏa a+b+c=3. Chứng minh rằng:
$8(\sum \frac{1}{a})+9\geq 10(\sum a^{2})$

Thực ra bài này mình đã giải ở đây:http://diendantoanhoc.net/index.php?/topic/84627-2leftsqrtxysqrtyzsqrtzxrightleq-xyz6/#entry373047
Hai lời giải giống hệt nhau

[maitienluat]

Thật ra thì lời giải của mình là từ sách của anh Cẩn =))
P/S: vậy bạn này post bài đã giải mà k mod nào để ý à?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 21-12-2012 - 22:20